Задача 76219 Прошу, очень нужно????????????...
Условие
Решение
{ 4^(x+y) = 16
{ 5^(x+2y-1) = 1
Переходим к показателям:
{ x + y = 2 (16 = 4^2)
{ x + 2y - 1 = 0 (1 = 5^0)
Решаем подстановкой:
{ x = 2 - y
{ 2 - y + 2y - 1 = 0
Решаем:
{ x = 2 - y
{ y + 1 = 0
Получаем:
y = -1; x = 2 - (-1) = 3
Ответ: (3; -1)
2)
{ x + y = 3
{ 2^(x) + 2^(y) = 6
Решаем подстановкой:
{ y = 3 - x
{ 2^(x) + 2^(3 - x) = 6
Решаем:
{ y = 3 - x
{ 2^(x )+ 2^3/2^(x) - 6 = 0
Делаем во 2 уравнении замену: t = 2^(x)
{ y = 3 - x
{ t + 8/t - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на t, получаем квадратное:
{ y = 3 - x
{ t^2 + 8 - 6t = 0
Решаем:
{ y = 3 - x
{ (t - 2)(t - 4) = 0
Получаем два решения:
1) t1 = 2^(x) = 2
x1 = 1; y1 = 3 - 1 = 2
2) t2 = 2^(x) = 4
x2 = 2; y2 = 3 - 2 = 1
Ответ: (1; 2); (2; 1)
3)
{ [m]\frac{x+y}{x-y} + 4 \cdot \frac{x-y}{x+y} = -4[/m]
{ y^2 - x^2 = 72
Делаем в 1 уравнении замену: [m]t=\frac{x+y}{x-y}[/m]:
{ t + 4/t + 4 = 0
{ y^2 - x^2 = 72
Умножаем 1 уравнение на t, получаем квадратное:
{ t^2 + 4 + 4t = 0
{ y^2 - x^2 = 72
Решаем:
{ (t + 2)^2 = 0
{ y^2 - x^2 = 72
Получаем:
{ [m]t=\frac{x+y}{x-y} = -2[/m]
{ y^2 - x^2 = 72
Решаем 1 уравнение:
{ x + y = -2(x - y)
{ y^2 - x^2 = 72
Раскрываем скобки:
{ x + y = -2x + 2y
{ y^2 - x^2 = 72
Упрощаем:
{ 3x = y
{ y^2 - x^2 = 72
Решаем подстановкой:
{ y = 3x
{ (3x)^2 - x^2 = 72
Решаем:
{ y = 3x
{ 8x^2 = 72
Получаем:
{ y = 3x
{ x^2 = 9
Эта система имеет два решения:
1) x1 = -3; y1 = -9
2) x2 = 3; y2 = 9
Ответ: (-3; -9); (3; 9)
4) Решить графически.
{ x^2 + y^2 = 4
{ x^2 + y + 2 = 0
Решение на рисунке 1.
Как видим, эта система имеет только одно решение:
Ответ: (0; -2)
5)
{ [m]\log_2(y)+5^{x} = 4[/m]
{ [m]3 \cdot \log_2(y)-5^{x} = 8[/m]
Область определения функции логарифма:
y > 0
Делаем замену: [m]a=\log_2(y); b= 5^{x}[/m]
Заметим, что b > 0 при любом x.
{ a + b = 4
{ 3a - b = 8
Решаем:
a = 3; b = 1
Подставляем:
{ [m]\log_2(y) = 3[/m]
{ [m]5^{x} = 1[/m]
Получаем:
{ x = log_5(1) = 0
{ y = 2^3 = 8
Ответ: (0; 8)
6)
{ 5^(x)*2^(y) = 80
{ [m]\log_{\sqrt{3}}(y-x)=2[/m]
Решаем 2 уравнение:
{ 5^(x)*2^(y) = 80
{ y - x = (sqrt(3))^2
Решаем подстановкой:
{ y = x + 3
{ 5^(x)*2^(x+3) = 80
Решаем 2 уравнение:
{ y = x + 3
{ 5^(x)*2^(x)*2^3 = 80
Упрощаем:
{ y = x + 3
{ 10^(x)*8 = 80
Решаем:
{ y = x + 3
{ 10^(x) = 10
Получаем:
{ x = 1
{ y = 4
Ответ: (1; 4)
7)
{ [m]\frac{2x+y}{x-2y} + 9 \cdot \frac{x-2y}{2x+y} = 6[/m]
{ x^2 - y^2 = 48
Делаем в 1 уравнении замену: [m]t=\frac{2x+y}{x-2y}[/m]:
{ t + 9/t - 6 = 0
{ x^2 - y^2 = 48
Умножаем 1 уравнение на t, получаем квадратное:
{ t^2 - 6t + 9 = 0
{ x^2 - y^2 = 48
Решаем 1 уравнение:
{ (t - 3)^2 = 0
{ x^2 - y^2 = 48
Получаем:
{ [m]t=\frac{2x+y}{x-2y} = 3[/m]
{ x^2 - y^2 = 48
Решаем 1 уравнение:
{ 2x + y = 3(x - 2y)
{ x^2 - y^2 = 48
Раскрываем скобки:
{ 2x + y = 3x - 6y
{ x^2 - y^2 = 48
Упрощаем:
{ 7y = x
{ x^2 - y^2 = 48
Решаем подстановкой:
{ x = 7y
{ (7y)^2 - y^2 = 48
Решаем:
{ x = 7y
{ 48y^2 = 48
Получаем:
{ x = 7y
{ y^2 = 1
Эта система имеет два решения:
1) y = -1; x = -7
2) y = 1; x = 7
Ответ: (-7; -1); (7; 1)
8) Решить графически
{ x^2 + 4 = y - 4x
{ x - y = -4
Смотрите рисунок 2.
Как видим, эта система имеет два решения:
Ответ: (-3; 1); (0; 4)
