Задача 76210 Дана правильная четырехугольная...

65eda891c8584361825bc639

3/10/2024 1:35:29 PM

Дана правильная четырехугольная пирамида, её высота равна 3, площадь боковой поверхности 80. Найдите площадь полной поверхности.

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/10/2024 2:12:04 PM

★

Смотрите рисунок.
У правильной пирамиды в основании квадрат ABCD, а боковые грани -
равнобедренные треугольники, все одинаковые.
Проведем апофему SM = L, она же медиана и высота грани ABS.
Высота пирамиды SO = 3,
OM = a/2 - половина стороны основания.
S(бок) = 4*S(ΔABS) = 4*AB*SM/2 = 2*a*L = 80
Отсюда:
a*L = 40 [b](1)[/b]
Треугольник SOM - прямоугольный. Из теоремы Пифагора:
SO^2 + OM^2 = SM^2
3^2 + (a/2)^2 = L^2
9 + a^2/4 = L^2 [b](2)[/b]
Подставляем L = 40/a из уравнения (1):
9 + a^2/4 = 40^2/a^2
Умножаем всё уравнение на 4a^2:
36a^2 + a^4 = 6400
a^4 + 36a^2 - 6400 = 0
Получили биквадратное уравнение:
D/4 = 18^2 - (-6400) = 324 + 6400 = 6724 = 82^2
a^2 = -18 + 82 = 64
Но a^2 - это и есть площадь основания пирамиды.
S(осн) = a^2 = 64
Полная площадь поверхности:
S(полн) = S(осн) + S(бок) = 64 + 80 = 144 см^2