Задача 76203 28) Как располагаются векторы,...

64c75b82b635261bba022a6f

3/9/2024 6:33:18 PM

28) Как располагаются векторы, изображающие два
комплексных числа, если модуль суммы этих чисел
равен разности модулей?
29) Что можно сказать о комплексных числах, для которых
соответствующие точки расположены на прямой,
параллельной оси
x
?
30) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате умножения его на
2i
?
31) При каких условиях модуль разности двух комплексных
чисел равен сумме модулей уменьшаемого и
вычитаемого?
32) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате умножения его на
(-3i)
?
33) Как изменится модуль и аргумент комплексного числа
z
в результате деления его на
4i
?

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/9/2024 7:14:25 PM

★

28) Эти вектры противоположно направлены.
29) У этих точек мнимые части одинаковы.
z1 = a1 + i*b; z2 = a2 + i*b
30) При умножении числа на 2i его модуль увеличится в 2 раза,
а аргумент увеличится на π/2.

31) Пусть z1 = a1 + b1*i, z2 = a2 + b2*i
|z1| = sqrt(a1^2 + b1^2); |z2| = sqrt(a2^2 + b2^2)
Тогда z1 - z2 = (a1 - a2) + i*(b1 - b2)
|z1 - z2| = sqrt((a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2)
|z1 - z2| = sqrt(a1^2 - 2*a1*a2 + a2^2 + b1^2 - 2*b1*b2 + b2^2)
По условию:
sqrt(a1^2 - 2*a1*a2 + a2^2 + b1^2 - 2*b1*b2 + b2^2) =
= sqrt(a1^2 + b1^2) + sqrt(a2^2 + b2^2)
Возводим в квадрат:
a1^2 - 2*a1*a2 + a2^2 + b1^2 - 2*b1*b2 + b2^2 =
= a1^2 + b1^2 + a2^2 + b2^2 + 2*sqrt((a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2))
Приводим подобные:
- 2*a1*a2 - 2*b1*b2 = 2*sqrt((a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2))
Делим на 2:
- a1*a2 - b1*b2 = sqrt((a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2))
Значит, 1 условие:
- a1*a2 - b1*b2 > 0
[b]a1*a2 + b1*b2 < 0[/b]
Снова взводим в квадрат:
(- a1*a2 - b1*b2)^2 = (a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2)
a1^2*a2^2 + 2a1*a2*b1*b2 + b1^2*b2^2 =
= a1^2*a2^2 + b1^2*a2^2 + a1^2*b2^2 + b1^2*b2^2
Приводим подобные:
2a1*a2*b1*b2 = b1^2*a2^2 + a1^2*b2^2
Переносим всё направо:
0 = b1^2*a2^2 + a1^2*b2^2 - 2a1*a2*b1*b2
(a1*b2 - a2*b1)^2 = 0
a1*b2 - a2*b1 = 0
Второе условие:
[b]a1*b2 = a2*b1[/b]
Ответ: a1*a2 + b1*b2 < 0; a1*b2 = a2*b1

32) При умножении числа на (-3i) модуль увеличится в 3 раза,
а аргумент уменьшится на π/2.
33) При делении числа на 4i его модуль уменьшится в 4 раза,
а аргумент уменьшится на π/2.