Задача 76164 Решите уравнение cos^(2)x +cos^(2) 2x =...
Условие
Решение
(cos^2 x - cos^2 3x) + (cos^2 2x - cos^2 4x) = 0
Раскладываем каждую скобку как разность квадратов:
(cos x + cos 3x)(cos x - cos 3x) + (cos 2x + cos 4x)(cos 2x - cos 4x) = 0
Есть формулы суммы и разности косинусов:
[m]cos(a) + cos(b) = 2cos \frac{a+b}{2} \cdot cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]cos(a) - cos(b) = -2sin \frac{a+b}{2} \cdot sin \frac{a-b}{2}[/m]
Получаем:
cos x + cos 3x = 2cos 2x*cos x
cos x - cos 3x = -2sin 2x*sin (-x) = 2sin 2x*sin x
cos 2x + cos 4x = 2cos 3x*cos x
cos 2x - cos 4x = -2sin 3x*sin (-x) = 2sin 3x*sin x
Подставляем:
2cos 2x*cos x*2sin 2x*sin x + 2cos 3x*cos x*2sin 3x*sin x = 0
Выносим за скобки:
2sin x*cos x*(2cos 2x*sin 2x + 2cos 3x*sin 3x) = 0
1) sin x = 0; [b]x1 = π*k, k ∈ Z[/b]
2) cos x = 0; [b]x2 = π/2 + π*k, k ∈ Z[/b]
3) 2cos 2x*sin 2x + 2cos 3x*sin 3x = 0
По формуле синуса двойного аргумента:
sin 4x + sin 6x = 0
Формула суммы синусов:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin \frac{a+b}{2} \cdot cos \frac{a-b}{2}[/m]
Получаем:
sin 4x + sin 6x = 2sin 5x*cos x = 0
cos x = 0 - этот случай мы уже рассмотрели.
sin 5x = 0
5x = π*k, k ∈ Z
[b]x3 = π/5*k, k ∈ Z[/b]
Ответ: [b]x1 = π*k, x2 = π/2 + π*k, x3 = π/5*k, k ∈ Z[/b]