Задача 76138 Прямоугольная система координат и...

65656c90447e914124fe7002

3/5/2024 6:25:22 PM

Прямоугольная система координат и векторы в пространстве.

Вариант:

1. Найдите координаты и длину вектора CD, если C(5; -1; -1), D(-1; -3; 2).

2. Даны векторы A, B. Найдите координаты вектора, если: A = 4B - 2k, B(-2; 1; 3).

3. Найдите значения x и y, при которых вектора C и D коллинеарны. C(x; 2; 3); D(13; y; -9).

4. Точка C делит отрезок AB в известном отношении. Найдите ее координаты, если: A(-3; -4; 6), B(7; 1; -9), AC:CB=4:1.

5. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD, если: A(0; 2; -3), B(0; 7; 6), D(2; 4; 2).

6. Определите вид треугольника ABC, если A(9; 3; -5), B(2; 10; -5), C(2; 3; 2).

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/5/2024 9:15:06 PM

★

1) C(5; -1; -1); D(-1; -3; 2)
CD = {-1-5; -3+1; 2+1} = {-6; -2; 3}
|CD| = sqrt((-6)^2 + (-2)^2 + 3^2) = sqrt(36 + 4 + 9) = sqrt(49) = 7

2) a = 4j - 2k = {0; 4; -2}; b{-2; 1; 3}
c = 2a - 3b = {2*0 - 3(-2); 2*4 - 3*1; 2(-2) - 3*3} = {6; 5; -13}

3) c{x; 2; 3}; d{3; y; -9}
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
x/3 = 2/y = 3/(-9)
x/3 = -1/3; x = -1
2/y = -1/3 = -2/6; y = -6

4) A(-3; -4; 6); B(7; 1; -9); AC : CB = 4 : 1
Отрезок AB разбивается на 5 частей, точка С лежит на 1 часть от B
По оси x: |AB| = 7 + 3 = 10; 1 часть = 10 : 5 = 2; x(C) = 7 - 2 = 5
По оси y: |AB| = 1 + 4 = 5; 1 часть = 5 : 5 = 1; y(C) = 1 - 1 = 0
По оси z: |AB| = 9 + 6 = 15; 1 часть = 15 : 5 = 3; z(C) = -9 + 3 = -6
Так как по оси z координата уменьшается, мы не вычитаем, а прибавляем.
C(5; 0; -6)

5) A(0; 2; -3); B(0; 7; 6); D(2; 4; 2)
Так как это параллелограмм, то координаты т. B сдвинуты от т. A
на такое же расстояние, как координаты т. C от т. D по всем осям.
По оси x: 0 - 0 = 0; x(C) = 2 - 0 = 2
По оси y: 7 - 2 = 5; y(C) = 4 - 5 = -1
По оси z: 6 + 3 = 9; x(C) = 2 - 9 = -7
C(2; -1; -7)

6) A(9; 3; -5); B(2; 10; -5); C(2; 3; 2)
Найдем длины сторон.
|AB| = sqrt((2-9)^2 + (10-3)^2 + (-5+5)^2) = sqrt((-7)^2 + 7^2 + 0^2) = sqrt(98) = 7sqrt(2)
|AC| = sqrt((2-9)^2 + (3-3)^2 + (2+5)^2) = sqrt((-7)^2 + 0^2 + 7^2) = sqrt(98) = 7sqrt(2)
|BC| = sqrt((2-2)^2 + (3-10)^2 + (2+5)^2) = sqrt(0^2 + (-7)^2 + 7^2) = sqrt(98) = 7sqrt(2)
Это равносторонний треугольник.