Задача 76134 1. Исходя из определения производной...
Условие
1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции y = x + 3x ^ 2 - (x ^ 3)/3
Решение
Определение производной:
Производная - это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, при изменении аргумента, стремящемся к 0.
[m]y' = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{y(x+ \Delta x) - y(x)}{\Delta x}[/m]
y(x + Δx) = x + Δx + 3(x + Δx)^2 - (x + Δx)^3/3 =
= x + Δx + 3(x^2 + 2x*Δx + Δx^2) - (x^3 + 3x^2*Δx + 3x*Δx^2 + Δx^3)/3 =
= x + Δx + 3x^2 + 6x*Δx + 3Δx^2 - x^3/3 - x^2*Δx - x*Δx^2 - Δx^3/3
y(x + Δx) - y(x) = x + Δx + 3x^2 + 6x*Δx + 3Δx^2 - x^3/3 - x^2*Δx - x*Δx^2 - Δx^3/3 - x - 3x^2 + x^3/3 = Δx + 6x*Δx + 3Δx^2 - x^2*Δx - x*Δx^2 - Δx^3/3
[m]y' = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{y(x+ \Delta x) - y(x)}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{Δx + 6x \cdot Δx + 3Δx^2 - x^2 \cdot Δx - x \cdot Δx^2 - Δx^3/3}{Δx}[/m]
[m]y' = \lim \limits_{\Delta x \to 0} (1 + 6x + 3Δx - x^2 - x \cdot Δx - \frac{Δx^2}{3}) [/m]
[m]y' = 1 + 6x - x^2[/m]
Теперь найдем производную по правилам дифференцирования:
y' = (x + 3x^2 - x^3/3)' = 1 + 3*2x - 3*x^2/3 = 1 + 6x - x^2
Что и требовалось доказать.