Задача 76123 Найти интервал сходимости степенного...
Условие
Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Заранее спасибо!
Решение
Решаем по признаку Даламбера, найдем предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot x^{n+1}}{((n+1)^2+1) \cdot 2^{n+1}} : \frac{n \cdot x^{n}}{(n^2+1) \cdot 2^{n}} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot x^{n} \cdot x}{(n^2+2n+2) \cdot 2^{n} \cdot 2} \cdot \frac{(n^2+1) \cdot 2^{n}}{n \cdot x^{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n^2+1)}{(n^2+2n+2)n} \cdot \frac{2^{n}}{2^{n} \cdot 2} \cdot \frac{x^{n} \cdot x}{x^{n}} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^3+n^2+n+1}{n^3+2n^2+2n} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot x = \frac{x}{2}[/m]
По признаку Даламбера, ряд сходится, если предел:
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m]
Получаем:
[m]\frac{x}{2} < 1[/m]
x < 2
При x = 2 получается ряд:
[m]\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{(n^2+1) \cdot 2^{n}} = \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} = \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/m]
Это гармонический ряд, он расходится.
Ответ: Ряд сходится при x ∈ (-2; 2)