Задача 76109 Не могу сама решить 2 и 3...
Условие
Решение
Все решения
xa*xc + ya*yc + za*zc = 0
Составляем систему:
{ 1*xc + 1*yc + 2*zc = 0
{ 2*xc + 1*yc + 1*zc = 0
Умножаем 1 уравнение на -2:
{ -2*xc - 2*yc - 4*zc = 0
{ 2*xc + 1*yc + 1*zc = 0
Складываем уравнения:
-2*xc - 2*yc - 4*zc + 2*xc + 1*yc + 1*zc = 0
0*xc - yc - 3zc = 0
yc = -3*zc
zc = 1; yc = -3
Подставляем в 1 уравнение:
1*xc + 1*(-3) + 2*1 = 0
xc = 3 - 2 = 1
c(1; -3; 1) = i - 3j + k
3) a = i + j = (1; 1; 0)
b = j + k = (0; 1; 1)
Угол между векторами b и с:
[m]cos (a; b) = \frac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/m]
Угол a = π/3
Теперь находим вектор а, который образует угол π/3 с векторами b и с
cos(a; c) = cos π/3 = 1/2; cos (b; c) = cos π/3 = 1/2
{ [m]cos (a; c) = \frac{xc \cdot 1 + yc \cdot 1 + zc \cdot 0}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{xc + yc}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/m]
{ [m]cos (b; c) = \frac{xc \cdot 0 + yc \cdot 1 + zc \cdot 1}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{yc + zc}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/m]
{ [m]\frac{xc + yc}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/m]
{ [m]\frac{yc + zc}{\sqrt{xc^2+yc^2+zc^2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}[/m]
{ 2(xc + yc) = sqrt(xc^2+yc^2+zc^2)sqrt(2)
{ 2(yc + zc) = sqrt(xc^2+yc^2+zc^2)sqrt(2)
Из этих уравнений получаем:
xc + yc = yc + zc
xc = zc
Подставляем:
2*(xc + yc) = sqrt(xc^2 + yc^2 + xc^2)
2*(xc + yc) = sqrt(2*xc^2 + yc^2)
4(xc + yc)^2 = 2*xc^2 + yc^2
4(xc^2 + 2*xc*yc + yc^2) = 2*xc^2 + yc^2
2*xc^2 + 8*xc*yc + 3*yc^2 = 0
Делим всё на yc^2:
2(xc/yc)^2 + 8*(xc/yc) + 3 = 0
Квадратное уравнение относительно (xc/yc)
D/4 = 4^2 - 2*3 = 16 - 6 = 10
(xc/yc) = (-4 - sqrt(10))/2
(xc/yc) = (-4 + sqrt(10))/2
Выразим yc через xc:
yc1 = 2*xc1/(-4 - sqrt(10))
yc2 = 2*xc2/(-4 + sqrt(10))
Решения:
(-4 - sqrt(10); 2; -4 - sqrt(10))
(-4 + sqrt(10); 2; -4 + sqrt(10))