Задача 76099 Следующие несобственные интегралы...

64c75b82b635261bba022a6f

3/4/2024 9:56:55 AM

Следующие несобственные интегралы исследовать
на сходимость и в случае сходимости указать значения интегралов.

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/4/2024 1:14:24 PM

★

а) [m]\int \limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+7} = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot arctg \frac{x}{\sqrt{7}} |_{0}^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot (\lim \limits_{x \to \infty} arctg (x) - arctg 0)[/m]
Так как [m]\lim \limits_{x \to \infty} arctg (x) = \frac{\pi}{2}[/m], то интеграл сходится, получаем:
[m]\int \limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+7} = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{2\sqrt{7}}[/m]

б) [m]\int \limits_0^5 \frac{dx}{5-x} = -ln(5-x) |_0^5 = \lim \limits_{x \to 5-0} (-ln(5-x)) - (-ln (5-0)) = -\lim \limits_{x \to 5-0} ln(5-x) + ln 5[/m]
Так как [m]\lim \limits_{x \to 5-0} ln(5-x) = ln (0-0) = +\infty[/m], то интеграл расходится.