Задача 76094 Вычислить площади фигур, ограниченных...
Условие
Решение
a)
-x^3=-9x
x^3-9x=0
x*(x^2-9)=0
x*(x-3)*(x+3)=0
х-0
х=3
х=-3
[m]S=2 ∫^{3}_{0}( -x^2-(-9x))dx=2\cdot (9\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|^{3}_{0}=2\cdot (9\frac{3^2}{2}-\frac{3^3}{3})=45[/m]
б)
[m]S=\frac{1}{2} ∫ _{0}^{2π} ρ ^2d φ [/m]
[m]S=\frac{1}{2} ∫ _{0}^{2π}(4 (1-sin φ)) ^2d φ=\frac{1}{2} \cdot 16 ∫ _{0}^{2π}(1-2sin φ +sin^2 φ )d φ= [/m]
[m]=8∫ _{0}^{2π}(1-2sin φ +\frac{1-cos2 φ }{2} )d φ=8\cdot ∫ _{0}^{2π}(\frac{3}{2}-2sin φ -\frac{1}{2}cos2 φ )d φ [/m]
[m]=8\cdot (\frac{3}{2} φ -2(-cos φ) -\frac{1}{2}\cdot \frac{-sin2 φ}{2} )| _{0}^{2π}=(12 φ+16cos φ +2sin2 φ )| _{0}^{2π}=24π[/m]
в)
[m]\frac{x}{9}=cost[/m]
[m]\frac{y}{6}=sint[/m]
Возводим в квадрат и складываем:
[m]\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{36}=1[/m]
Это эллипс.
Площадь фигуры находим по формуле, площадь под кривой, заданной параметрически.
S=π*9*6=54π - о т в е т
Или
См. скрин
