Задача 76088 Угол между плоскостями треугольников ABC...
Условие
Решение
AB = BC = AC = 12 см, то есть Δ ABC - равносторонний.
BM - высота, медиана и биссектриса Δ ABC
BM = 12*sqrt(3)/2
[b]BM = 6sqrt(3) см[/b]
AD = CD = b, то есть Δ ACD - равнобедренный.
∠ ADC = 120°
∠ BMD = 60°
По теореме косинусов:
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2*AC*CD*cos ADC
12^2 = b^2 + b^2 - 2*b*b*cos 120°
144 = 2b^2 - 2b^2*(-1/2)
144 = 3b^2
b^2 = 144/3 = 48 = 16*3 = (4sqrt(3))^2
[b]AD = CD = b = 4sqrt(3) см[/b]
DM - высота, медиана и биссектриса Δ ACD
Δ CDM - прямоугольный. По теореме Пифагора:
DM^2 = CD^2 - CM^2 = 48 - 6^2 = 48 - 36 = 12 = 4*3 = (2sqrt(3))^2
[b]DM = 2sqrt(3) см[/b]
По теореме косинусов:
BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2*BM*DM*cos BMD
BD^2 = (6sqrt(3))^2 + (2sqrt(3))^2 - 2*6sqrt(3)*2sqrt(3)*cos 60°
BD^2 = 108 + 12 - 2*6*3*2*1/2 = 108 + 12 - 36 = 84
BD = sqrt(84) = sqrt(4*21)
[b]BD = 2sqrt(21) см[/b]