Задача 76083 Найти частное решение дифференциального...
Условие
удовлетворяет начальному условию.
Решение
Делим на x^2:
y' + y/x = -1/x^2
Это неоднородное диф. уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = u*v, тогда y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v/x = -1/x^2
Выносим u за скобки:
u'*v + u(v' + v/x) = -1/x^2
Приравниваем скобку к 0:
v' + v/x = 0
dv/dx = -v/x
dv/v = -dx/x
Интегрируем:
ln |v| = -ln |x| = ln |1/x|
Отсюда:
v = 1/x
Подставляем в уравнение:
u'*1/x + u*0 = -1/x^2
Умножаем на x:
u' = -1/x
Интегрируем:
u = -ln |x| + ln C = ln |C/x|
Возвращаемся к переменной y(x) = u*v:
y(x) = ln |C/x|*1/x
Теперь подставляем начальное условие y(1) = 0:
y(1) = ln |C/1|*1/1
0 = ln C
C = 1
Ответ: y(x) = ln |1/x|*1/x