Задача 76073 ...

632f635587d19127bff140f0

3/1/2024 5:52:56 PM

Решите уравнение: sin x + sin 3x / cos x +cos 3x =0. Ответы: 2πn, n ∈ Z. πn/2, n ∈ Z. πn/4, n ∈ Z. πn, n ∉ Z.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

3/3/2024 8:39:18 AM

[m]\frac{sin x + sin 3x}{cos x +cos 3x} =0[/m]

Применяем формулы ( см. скрин)


[m]\frac{2 sin \frac{x+3x}{2}\cdot cos\frac{x-3x}{2}}{2 cos \frac{x+3x}{2}\cdot cos\frac{x-3x}{2}}=0[/m]

[m]\frac{2sin 2x\cdot cos(-x)}{2cos 2x \cdot cos(-x)} =0[/m]

Сокращаем дробь на [m] 2cos(-x) ≠ 0[/m] ⇒ [m] cosx ≠ 0[/m] ⇒ [m]x ≠ \frac{π}{2}+π m, m ∈[/m] [b]Z[/b]

Получаем уравнение:

[m]\frac{sin 2x}{cos 2x} =0[/m]


Дробь равна нулю когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля

sin2x=0 ⇒ [m]2x=π k, k ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]x=\frac{π}{2} k, k ∈[/m] [b]Z[/b]

cos2x ≠ 0 ⇒ [m]2x ≠ \frac{π}{2}+π n, n ∈[/m] [b]Z[/b] ⇒ [m]x ≠ \frac{π}{4}+\frac{π}{2} n, n ∈[/m] [b]Z[/b]

Изображаем найденные корни на единичной окружности

Условие [m]x ≠ \frac{π}{2}+π m, m ∈[/m] [b]Z[/b] исключает два найденных корня

Условие [m]x ≠ \frac{π}{4}+\frac{π}{2} n, n ∈[/m] [b]Z[/b] не влияет на ответ


О т в е т. [m]x=π k, k ∈[/m] [b]Z[/b]

(Последний ответ в приведенных)