Задача 76071 Доброго времени суток! две задачки с...
Условие
две задачки с показателями
Решение
1)
[m]\left\{\begin {matrix}2^{x}\cdot 3^{y}=6\\3^{x}\cdot 4^{y}=12\end {matrix}\right.[/m]
Нельзя решать вот так:
[m]\left\{\begin {matrix}2^{x}\cdot 3^{y}=2\cdot 3\\3^{x}\cdot 4^{y}=3\cdot 4\end {matrix}\right.[/m]
x=1; y=1
В таком случае требуется доказать, что нет других решений.
Правильное решение выглядит так:
Делим первое уравнение на[m]2\cdot 3^{y}[/m]
Делим второе уравнение на[m]3\cdot 4^{y}[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{2^{x}}{2}=\frac{3}{ 3^{y}}\\\frac{3^{x}}{3}=\frac{4}{4^{y}}\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}2^{x-1}= 3^{1-y}\\3^{x-1}=2^{2-2y}\end {matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin {matrix}x-1=log_{2} 3^{1-y}\\x-1=log_{3}2^{2-2y}\end {matrix}\right.[/m]
Приравниваем правые части
[m]log_{2}3^{1-y}=log_{3}2^{2-2y}[/m]
[m](1-y)log_{2}3=(2-2y)log_{3}2[/m]
[m](1-y)(log_{2}3-2log_{3}2)=0[/m]
[m]1-y=0[/m]
[m]y=1[/m]
[m]x-1=log_{2} 3^{1-1}[/m]
[m]x-1=0[/m]
[m]x=1[/m]
О т в е т. (1;1)
735
2)
[m]\left\{\begin {matrix}x^{y}=243\\\sqrt[y]{1024}=(\frac{2x}{3})^2\end {matrix}\right.[/m]
Первое уравнение логарифмируем по основанию 3:
[m]\left\{\begin {matrix}log_{3}x^{y}=log_{3}243\\(2^{10})^{\frac{1}{y}}=(\frac{2x}{3})^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}y\cdot log_{3}x=log_{3}3^{5}\\2^{\frac{10}{y}}=(\frac{2x}{3})^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} log_{3}x=\frac{5}{y}\\2^{\frac{10}{y}}=(\frac{2x}{3})^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3^{\frac{5}{y}}\\2^{\frac{10}{y}}=(\frac{2\cdot 3^{\frac{5}{y}}}{3})^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3^{\frac{5}{y}}\\2^{\frac{10}{y}-2}=3^{2(\frac{5}{y})-2}\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=3^{\frac{5}{y}}\\\frac{2}{3}^{\frac{10}{y}-2}=1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=3^{\frac{5}{y}}\\\frac{10}{y}-2=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3^{\frac{5}{5}}\\y=5\end {matrix}\right.[/m]
О т в е т. (3;5)