Задача 76067 ...
Условие
Решение
[m]f(x)=\frac{log_{2}(2^{x}-2^{-x+2}-6)+x-1}{2x+1}[/m]
Область определения:
[m]\left\{\begin {matrix}2^{x}-2^{-x+2}-6 >0 ⇒ \\x ≠ -\frac{1}{2}\end {matrix}\right.[/m] [m]2^{x}-\frac{4}{2^{x}}-6 >0[/m] ⇒ [m](2^{x})^2-6\cdot 2^{x}-4>0[/m]
Замена переменной
[m]2^{x}=t[/m]
[m]t>0[/m]
Решаем квадратное уравнение:
[m]t^2-6t-4 =0[/m]
D=52
[m]t_{1}=\frac{6-2\sqrt{13}}{2}[/m] или [m]t_{2}=\frac{6+2\sqrt{13}}{2}[/m]
[m]t_{1}=3-\sqrt{13} <0[/m] или [m]t_{2}=3+\sqrt{13}[/m]
[m] 2^{x}>3+\sqrt{13}[/m] ⇒ [m] x>log_{2}(3+\sqrt{13})[/m]
Применяем метод интервалов
Находим нули числителя
Решаем уравнение
[m]log_{2}(2^{x}-2^{-x+2}-6)+x-1=0[/m] ⇒ [m]log_{2}(2^{x}-2^{-x+2}-6)=-x+1[/m] ⇒
[m]2^{x}-2^{-x+2}-6=2^{-x+1}[/m]
[m]2^{x}-\frac{4}{2^{x}}-6=\frac{2}{2^{x}}[/m]
[m](2^{x})^2-6\cdot 2^{x}-6=0[/m]
Замена переменной
[m]2^{x}=t[/m]
[m]t>0[/m]
Решаем квадратное уравнение:
[m]t^2-6t-6 =0[/m]
D=36+24=60
[m]t_{1}=\frac{6-2\sqrt{15}}{2}[/m] или [m]t_{2}=\frac{6+2\sqrt{15}}{2}[/m]
[m]t_{1}=3-\sqrt{15} <0[/m] или [m]t_{2}=3+\sqrt{15}[/m]
[m]2^{x}=3+\sqrt{15}[/m]
О т в е т. [m][log_{2}(3+\sqrt{15});+ ∞ )[/m]