Задача 76061 log(sqrt(2x^2-7x+6)) (x/3) > 0 x^(lgx)...
Условие
x^(lgx) > 10x^(-lgx) + 3
Решение
[m]log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}\frac{x}{3} > 0[/m]
Так как [m]0=log_{a}1[/m] по любому основанию a > 0
то
[m]log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}\frac{x}{3} > log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}1 [/m]
Два случая
1)
Если основание [m]\sqrt{2x^2-7x+6}>1[/m], то логарифмическая функция возрастает
⇒ [m]\frac{x}{3} >1[/m]
Получаем систему неравенств
[m]\left\{\begin {matrix}2x^2-7x+6>0\\\sqrt{2x^2-7x+6}>1\\\frac{x}{3} >1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}2x^2-7x+6>1\\x >3\end {matrix}\right.[/m]
D=49-40=9
[m]\left\{\begin {matrix}x < 1... или ...x>2,5\\x >3\end {matrix}\right.[/m] ⇒ x>3
2)
Если основание [m]0 < \sqrt{2x^2-7x+6}<1[/m], то логарифмическая функция возрастает
⇒ [m]0<\frac{x}{3} <1[/m]
Получаем систему неравенств
[m]\left\{\begin {matrix}2x^2-7x+6>0\\2x^2-7x+6 < 1\\0 < x < 3\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}\\x<1,5 ...или...x>2\\1<x<2,5)\\x >3\end {matrix}\right.[/m] ⇒ (1;1,5)U(2;5)
О т в е т. [b] (1;1,5)U(2;5)U(3;+ ∞) [/b]
7.
Неравенство [b]имеет смысл[/b] при x >0; x ≠ 1
[i]Замена переменной[/i]
[m]x^{lgx}=t[/m]
Неравенство принимает вид
[m]t>\frac{10}{t}+3 [/m]
[m]t^2-3t-10>0[/m]
В=9+40=49
[m] t <-2[/m] или [m]t > 5[/m]
Обратный переход
[m] x^{lgx}<-2[/m] нет решения
или
[m]x^{lgx} > 5[/m]
Логарифмируем:
[m]lgx^{lgx} > lg5[/m]
[m]lg^2x>lg5[/m]
О т в е т. [m](0; \sqrt{lg5})[/m]