Задача 76060 Найдите все значения a, при каждом из...
Условие
sqrt(x)+sqrt(2a-x)=a
имеет ровно два различных корня.
Решение
Во-первых, так как корни арифметические, то есть неотрицательные,
то правая часть тоже должна быть неотрицательной:
a ≥ 0
Далее, область определения функции квадратного корня:
{ x ≥ 0
{ 2a - x ≥ 0
Решаем:
{ x ≥ 0
{ x ≤ 2a
D(X) = [0; 2a]
Теперь решаем само уравнение.
Возводим в квадрат левую и правую части:
[m](\sqrt{x}+\sqrt{2a-x})^2 = a^2[/m]
[m]x + 2\sqrt{x(2a-x)} + 2a-x = a^2[/m]
Приводим подобные и отделяем корень:
[m]2\sqrt{x(2a-x)} = a^2 - 2a[/m]
Тут появляется ещё одно условие:
a^2 - 2a ≥ 0
a(a - 2) ≥ 0
Так как мы уже знаем, что a ≥ 0, то:
a - 2 ≥ 0
a ≥ 2
Возводим снова в квадрат левую и правую части:
4x(2a - x) = (a^2 - 2a)^2
-4x^2 + 8ax = (a^2 - 2a)^2
4x^2 - 8ax + (a^2 - 2a)^2 = 0
Получили обычное квадратное уравнение с параметром.
D/4 = (-4a)^2 - 4(a^2 - 2a)^2 = 16a^2 - 4(a^2 - 2a)^2 =
= (4a - 2(a^2 - 2a))(4a + 2(a^2 - 2a)) = (-2a^2 + 8a)(2a^2)
Как видите, мы разложили дискриминант, как разность квадратов.
Если уравнение имеет два различных корня, то D/4 > 0
(-2a^2 + 8a)*2a^2 > 0
При а = 0 левая часть равна 0, нам это не подходит.
При а ≠ 0 будет 2a^2 > 0, этот множитель можно сократить.
-2a^2 + 8a > 0
-2a(a - 4) > 0
2a(a - 4) < 0
По методу интервалов:
a ∈ (0; 4)
С учётом условия a ≥ 2 получаем:
Ответ: [b]a ∈ [2; 4)[/b]