Задача 76039 ...
Условие
Решение
Обозначим катеты а и b, a < b, а гипотенузу c.
По теореме Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2
Маленький катет а на 18 меньше, чем гипотенуза с:
c = a + 18
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S = a*b/2 = 84
b = 2*84/a = 168/a
Подставляем всё это в теорему Пифагора:
a^2 + (168/a)^2 = (a+18)^2
a^2 + 168^2/a^2 = a^2 + 36a + 18^2
168^2/a^2 = 36a + 18^2
Умножаем на a^2:
168^2 = 36a^3 + 18^2*a^2
И делим на 36: 18^2 = 3*6*3*6 = 9*36; 168^2 = 12*14*3*56
14*56 = a^3 + 9a^2
a^3 + 9a^2 - 784 = 0
a^3 - 7a^2 + 16a^2 - 112a + 112a - 784 = 0
(a - 7)(a^2 + 16a + 112) = 0
a = 7
Квадратный трехчлен в скобках корней не имеет.
b = 168/a = 168/7 = 24
c = a + 18 = 7 + 18 = 25
Проверяем теорему Пифагора:
7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2
Всё правильно.
Ответ: 7; 24; 25
Упражнение 5.
{ x ≤ 7
{ y ≤ 2
{ y + 4x ≥ 10
Я решил графически. Смотрите рисунок.
Можно и алгебраически решить. Приравняем эти прямые.
1)
{ x = 7
{ y = 2
Точка пересечения [b](7; 2)[/b]
2)
{ y = 2
{ y + 4x = 10
Подставляем:
2 + 4x = 10
4x = 10 - 2 = 8
x = 8/4 = 2
Точка пересечения [b](2; 2)[/b]
3)
{ x = 7
{ y + 4x = 10
Подставляем:
y + 4*7 = 10
y = 10 - 4*7 = 10 - 28 - -18
Точка пересечения [b](7; -18)[/b]
Таким образом, область пересечения - это прямоугольный треугольник
с катетами a = 7 - 2 = 5; b = 2 - (-18) = 20
Его площадь равна половине произведения катетов:
S = a*b/2 = 5*20/2 = 5*10 = 50
