Задача 76037 решите №4,5,6 на фото...
Условие
Решение
При каком значении p вектора будут:
а) Коллинеарны?
Вектора коллинеарны, то есть параллельны, если их координаты пропорциональны друг другу.
5/1 = p/(-4) = -15/(-3)
p = 5*(-4) = -20
б) Перпендикулярны?
Вектора перпендикулярны, если выполняется равенство:
x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 = 0
1*5 + (-4)*p + (-3)(-15) = 0
5 - 4p + 45 = 0
4p = 50
p = 50/4 = 12,5
5) a(1; 1; -2); b(1; 2; -1)
Найти скалярное произведение векторов (2a + b) и (a - b)
2a + b = (2*1+1; 2*1+2; 2(-2)+(-1)) = (3; 4; -5)
a - b = (1-1; 1-2; -2-(-1)) = (0; -1; -1)
(2a+b)*(a-b) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 = 3*0 + 4(-1) + (-5)(-1) = 0 - 4 + 5 = 1
6) A(1; 3; -1); B(1; -1; 4); C(2; 3; -1)
Найти площадь треугольника ABC.
Длины сторон:
[m]|AB| = \sqrt{(1-1)^2+(3+1)^2+(-1-4)^2} = \sqrt{0^2+4^2+(-5)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}[/m]
[m]|AC| = \sqrt{(1-2)^2+(3-3)^2+(-1+1)^2} = \sqrt{(-1)^2+0^2+0^2} = \sqrt{1} = 1[/m]
[m]|BC| = \sqrt{(1-2)^2+(-1-3)^2+(4+1)^2} = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2+5^2} = \sqrt{1+16+25} = \sqrt{42}[/m]
Проверим по теореме Пифагора:
|AB|^2 + |AC|^2 = 41 + 1 = 42 = |BC|^2
Теорема Пифагора выполняется, значит, треугольник прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
[m]S(ABC) = |AB| \cdot |AC|/2 = \sqrt{41} \cdot 1/2 = \sqrt{41}/2[/m]