Задача 76036 Используя двойной интеграл, вычислите...
Условие
Решение
Ту часть, которая расположена в первой четверти заменим уравнением:
[m]y=\sqrt{4-x^2}[/m]- верхняя ветвь окружности [m]x^2+y^2=4[/m]
[m]S= ∫ ∫ _{D}dxdy[/m]
D=D_(1)UD_(2)
D_(1):
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ sqrt(3x)
D_(2):
1 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ sqrt(4-x^2)
[m]S=∫^{1} _{0} (∫^{\sqrt{3x}} _{0}dy)dx+∫^{2} _{1} ∫^{\sqrt{4-x^2}} _{0}dy=∫^(1) _(0)\sqrt{3x}dx+∫^{2} _{1}\sqrt{4-x^2}dx=[/m]
( см. табличный интеграл)
[m]=(\sqrt{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})|^{1}_{0}+(\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2arcsin\frac{x}{2})|^{2}_{1}=[/m]
[m]=2\frac{\sqrt{3}}{3}+1*0+2\frac{π}{2}-(1/2)sqrt{3}-2\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}[/m]
[m]S=\frac{2π}{3}-\frac{1}{6}\sqrt{3}[/m]
