Задача 76018 Дам 130 баллов!!!!! Очень...
Условие
Решение
1) sin 7x + sin x = cos 3x
Формула суммы синусов:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin \frac{a+b}{2} \cdot cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]sin(7x) + sin(x) = 2sin \frac{7x+x}{2} \cdot cos \frac{7x-x}{2} = 2sin(4x) \cdot cos(3x)[/m]
2sin 4x*cos 3x = cos 3x
2sin 4x*cos 3x - cos 3x = 0
cos 3x*(2sin 4x - 1) = 0
а) cos 3x = 0
3x = π/2 + π*n, n ∈ Z
[b]x1 = π/6 + π/3*n, n ∈ Z[/b]
б) 2sin 4x - 1 = -
sin 4x = 1/2
4x = (-1)^(k)*π/6 + π*k, k ∈ Z
[b]x2 = (-1)^(k)*π/24 + π/4*k, k ∈ Z[/b]
2) 2^(x) - 8*2^(-x) = 7
Замена y = 2^(x), тогда 2^(-x) = 1/y
Заметим, что y > 0 при любом x.
y - 8/y - 7 = 0
y^2 - 7y - 8 = 0
(y + 1)(y - 8) = 0
y = -1 < 0 - не подходит
y = 8 > 0 - подходит
2^(x) = 8
[b]x = 3[/b]
Задача
Из п. А до п. В на расстояние 15 км одновременно вышли два пешехода.
Скорость одного на 1 км/ч меньше, и он пришел на 45 минут позже.
Найти скорость обоих пешеходов.
Пусть скорость первого v км/ч, тогда скорость второго v+1 км/ч.
Первый пришел за время: t1 = 15/v час.
Второй пришел за время: t2 = 15/(v+1) час.
И первый пришел на 45 минут = 45/60 = 3/4 часа позже.
Составляем уравнение:
15/v = 15/(v + 1) + 3/4
Умножаем всё урв\авнение на 4, на v и на (v+1)
60(v + 1) = 60v + 3v(v + 1)
60v + 60 = 60v + 3v^2 + 3v
3v^2 + 3v - 60 = 0
Делим всё уравнение на 3:
v^2 + v - 20 = 0
D = 1^2 - 4*1(-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2
v = (1 + 9)/2 = 10/2 = 5 км/ч - скорость первого пешехода
v + 1 = 5 + 1 = 6 км/ч - скорость второго пешехода.
Неравенство
[m](x^2 - 4x) \log_5(x + 3) ≤ 0[/m]
Область определения логарифма:
x > -3
Так как 5 > 1, то функция логарифма - возрастающая.
Это значит, что при переходе от логарифма к выражению под логарифмом знак неравенства остается.
Если \log_5(x + 3) ≥ 0, то есть x + 3 ≥ 1, то x ≥ -2. Тогда:
x^2 - 4x ≤ 0
x(x - 4) ≤ 0
x ∈ [0; 4]
С учетом области определения и условия по логарифму:
{ x > -3
{ x ≥ -2
{ x ∈ [0; 4]
x1 ∈ [0; 4]
Если \log_5(x + 3) ≤ 0, то есть x + 3 ≤ 1, то x ≤ -2. Тогда:
x^2 - 4x ≥ 0
x(x - 4) ≥ 0
x ∈ (-oo; 0] U [4; +oo)
С учетом области определения и условия по логарифму:
{ x > -3
{ x ≤ -2
{ x ∈ (-oo; 0] U [4; +oo)
x2 ∈ (-3; -2]
Ответ: x ∈ (-3; -2] U [0; 4]