Задача 76017 Дам 130 баллов!!! Очень...
Условие
Решение
1) sin 5x - sin x = cos 3x
Есть формула разности синусов:
[m]sin(a) - sin(b) = 2sin \frac{a-b}{2} \cdot cos \frac{a+b}{2}[/m]
[m]sin(5x) - sin(x) = 2sin \frac{5x-x}{2} \cdot cos \frac{5x+x}{2} = 2sin(2x) \cdot cos(3x)[/m]
Подставляем в уравнение:
2sin 2x*cos 3x = cos 3x
2sin 2x*cos 3x - cos 3x = 0
cos 3x(2sin 2x - 1) = 0
а) cos 3x = 0
3x = π/2 + π*n, n ∈ Z
[b]x1 = π/6 + π/3*n, n ∈ Z[/b]
б) 2sin 2x - 1 = 0
sin 2x = 1/2
2x = (-1)^(k)*π/6 + π*k, k ∈ Z
[b]x2 = (-1)^(k)*π/12 + π/2*k, k ∈ Z[/b]
2) 3^(x) - 9*3^(-x) = 8
Замена y = 3^(x), тогда 3^(-x) = 1/y
Заметим, что y > 0 при любом x.
y - 9/y = 8
Умножаем на y:
y^2 - 8y - 9 = 0
(y - 9)(y + 1) = 0
y = -1 < 0 - не подходит
y = 9 > 0 - подходит
3^(x) = 9
[b]x = 2[/b]
Задача.
Из места в село, расстояние между которыми 36 км, выехали одновременно два велосипедиста.
Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого, и он прибыл в село на 36 минут раньше.
Найдите скорости обоих велосипедистов.
Решение.
Обозначим скорость второго v км/ч, тогда скорость первого v+3 км/ч.
Первый приехал за время t1 = 36/(v+3) час.
Второй приехал за время t2 = 36/v час.
И первый приехал на 36 минут = 36/60 = 6/10 = 0,6 часа раньше.
Составляем уравнение:
[m]\frac{36}{v} = \frac{36}{v+3} + 0,6[/m]
Умножаем всё уравнение на v и на (v+3):
36(v + 3) = 36v + 0,6v(v + 3)
36v + 108 = 36v + 0,6v^2 + 1,8v
0,6v^2 + 1,8v - 108 = 0
Умножаем всё уравнение на 10 и делим на 6:
v^2 + 3v - 180 = 0
D = 3^2 - 4*1(-180) = 9 + 720 = 729 = 27^2
v = (-3 + 27)/2 = 24/2 = 12 км/ч - скорость второго велосипедиста.
v + 3 = 12 + 3 = 15 км/ч - скорость первого велосипедиста.
Неравенство
(x^2 - 3x)*log_(0,5)(x + 4) ≥ 0
Область определения логарифма:
x + 4 > 0
x > -4
Так как основание логарифма 0,5 ∈ (0; 1), то функция логарифма убывает.
Значит, при переходе от логарифма к выражению под логарифмом знак неравенства меняется.
Если log_(0,5)(x + 4) ≥ 0, то:
x + 4 ≤ 1, то есть:
x ≤ -3
Тогда:
x^2 - 3x ≥ 0
x(x - 3) ≥ 0
x ≤ 0 U x ≥ 3
С учетом области определения и условия по логарифму получаем:
{ x > -4
{ x ≤ -3
{ x ≤ 0 U x ≥ 3
[b]x1 ∈ (-4; -3][/b]
Если log_(0,5)(x + 4) ≤ 0, то:
x + 4 ≥ 1, то есть:
x ≥ -3
Тогда:
x^2 - 3x ≤ 0
x(x - 3) ≤ 0
x ∈ [0; 3]
С учетом области определения и условия по логарифму получаем:
{ x > -4
{ x ≥ -3
{ x ∈ [0; 3]
[b]x2 ∈ [0; 3][/b]
Ответ: x ∈ (-4; -3] U [0; 3]