Задача 76011 Найдите точку максимума функции...

65dcb36258f8d021aead8905

2/26/2024 3:51:57 PM

Найдите точку максимума функции y=(x+3)^2*e^(x-4)

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/26/2024 5:46:46 PM

★

[m]y=(x+3)^2 e^{4-x}[/m]
Точки экстремума - это точки, в которых производная равна 0.
[m]y' = 2(x+3) e^{4-x} + (x+3)^2 e^{4-x}(-1) = e^{4-x}(2x + 6 - (x+3)^2) = 0[/m]
e^(4-x) > 0 при любом x, поэтому:
2x + 6 - (x^2 + 6x + 9) = 0
2x + 6 - x^2 - 6x - 9 = 0
-x^2 - 4x - 3 = 0
-(x + 1)(x + 3) = 0
x1 = -3, y(-3) = (3 - 3)^2*e^(4 + 3) = 0
x2 = -1, y(-1) = (-1 + 3)^2*e^(4 + 1) = 4e^5
При x < -3 будет y' < 0 - функция убывает.
При x ∈ (-3; -1) будет y' > 0 - функция возрастает.
Значит, x = -3 - точка минимума.
При x > -1 будет y' < 0 - функция убывает.
Значит, x = -1 - точка максимума.

Ответ: (-1; 4e^5) - точка максимума функции.