Задача 75987 ...

65db00f358f8d021aead8655

2/25/2024 9:00:09 AM

Известно, что в прямоугольном треугольнике FKM с прямым углом KFM гипотенуза KM=60, площадь данного треугольника равна 450. Найди величину ∠K и ∠M.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/25/2024 9:42:37 AM

★

Теорема Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = 60^2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ab/2 = 450
ab = 900
Получили систему:
{ a^2 + b^2 = 3600
{ ab = 900
Для решения можно применить один метод. Получим квадрат суммы катетов:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 3600 + 2*900 = 5400
a + b = sqrt(5400) = sqrt(6*900) = 30sqrt(6)
Получили новую систему:
{ a + b = 30sqrt(6)
{ ab = 900
Это можно решить подстановкой
{ b = 30sqrt(6) - a
{ a(30sqrt(6) - a) = 900
-a^2 + 30sqrt(6)*a - 900 = 0
Меняем знаки:
a^2 - 30sqrt(6)*a + 900 = 0
D/4 = (15sqrt(6))^2 - 1*900 = 225*6 - 900 = 450 = 9*25*2 = (15sqrt(2))^2
a = FK = 15sqrt(6) - 15sqrt(2)
b = FM = 30sqrt(6) - a = 15sqrt(6) + 15sqrt(2)
Углы треугольника:
[m]\sin K = \cos M = \frac{FM}{KM} = \frac{15\sqrt{6} + 15\sqrt{2}}{60} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}[/m]
[m]\sin M = \cos K = \frac{FK}{KM} = \frac{15\sqrt{6} - 15\sqrt{2}}{60} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}[/m]
Если угол M удвоить, то мы получим;
[m]\sin (2M) = 2 \cdot \sin M \cdot \cos M = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2 \cdot \frac{6-2}{4 \cdot 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}[/m]
Так как sin (2M) = 1/2, то 2M = 30°, отсюда:
∠ M = 15°
∠ K = 90° - 15° = 75°
Ответ: Углы ∠ K и ∠ M равны 15° и 75°.