Задача 75982 ...
Условие
1. Решите неравенство: (x²-3)/(3x-4)<0;
2. Решите неравенство: log3 (x-7)/(2x-5)<0.
Решение
[m]\frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{3^{x}-4} < 0[/m]
Если 3^(x) - 4 > 0, то есть x > log_3(4), то:
(x - sqrt(3))(x + sqrt(3)) < 0
По методу интервалов:
x ∈ [-sqrt(3); sqrt(3)]
log_3(4) ≈ 1,26; sqrt(3) ≈ 1,732
log_3(4) < sqrt(3), поэтому решение:
[b]x1 ∈ (log_3(4); sqrt(3))[/b]
Если 3^(x) - 4 < 0, то есть x < log_3(4), то:
(x - sqrt(3))(x + sqrt(3)) > 0
По методу интервалов:
x ∈ (-oo; -sqrt(3)) U (sqrt(3); +oo)
Решение:
[b]x2 ∈ (-oo; -sqrt(3))[/b]
Ответ: x ∈ (-oo; -sqrt(3)) U (log_3(4); sqrt(3))
7) [m]\log_3 \frac{x-7}{2x-5} < 0[/m]
Область определения логарифма:
[m]\frac{x-7}{2x-5} > 0[/m]
По методу интервалов:
[b]x ∈ (-oo; 2,5) U (7; +oo)[/b]
Теперь решаем само неравенство:
Так как 3 > 1, то функция логарифма - возрастающая, поэтому при переходе от логарифмов к выражению под логарифмом знак неравенства остается.
[m]\frac{x-7}{2x-5} < 3^0[/m]
[m]\frac{x-7}{2x-5} < 1[/m]
[m]\frac{x-7}{2x-5} - 1 < 0[/m]
[m]\frac{x-7 - (2x - 5)}{2x-5} < 0[/m]
[m]\frac{-x-2}{2x-5} < 0[/m]
Умножаем числитель на -1, при этом знак неравенства меняется.
[m]\frac{x+2}{2x-5} > 0[/m]
По методу интервалов:
[b]x ∈ (-oo; -2) U (2,5; +oo)[/b]
Но по области определения x ∉ [2,5; 7], поэтому
Ответ: x ∈ (-oo; -2) U (7; +oo)