Задача 75966 а) cos2x-sqrt(2)sinx-1 / tgx-1 = 0 б)...
Условие
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие [3п/2; 3п]
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}cos2x-\sqrt{2}sinx-1=0\\tgx-1 ≠ 0 ⇒ tgx ≠1 ⇒ x ≠\frac{π}{4}+π m, m ∈ Z \end {matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение системы
[m]cos2x-\sqrt{2}sinx-1=0[/m]
Так как [m] cos2x=1-2sin^2x[/m], уравнение принимает вид:
[m]1-2sin^2x-\sqrt{2}sinx-1=0[/m]
[m]2sin^2x+\sqrt{2}sinx=0[/m]
Применяем метод разложения на множители:
[m]2sinx(sinx+\frac{\sqrt{2}}{2})=0[/m]
[m]sinx=0[/m] или [m] (sinx+\frac{\sqrt{2}}{2})=0[/m]
[m]x=πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] или [m] sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒ [m]x =-\frac{π}{4}+2πk, k ∈ [/m] Z или [m]x =-\frac{3π}{4}+2πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]
С учетом второго неравенства системы ([m] x ≠\frac{π}{4}+π m, m ∈ [/m] [b]Z [/b])
получаем ответ
[m]x=πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ;[m]x =-\frac{π}{4}+2πk, k ∈ [/m] Z
б)
[m] \frac{3π}{2}≤ πn ≤3π , n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Делим на π
[m] \frac{3}{2}≤ n ≤3 , n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Неравенству удовлетворяют
n=2; 3
Значит указанному отрезку принадлежат корни
[red]x=2π; x=3π[/red]
[m] \frac{3π}{2}≤ -\frac{π}{4}+2πk ≤3π , k ∈ [/m] [b]Z[/b]
Делим на π
[m] \frac{3}{2}≤ -\frac{1}{4}+2k ≤3 , k ∈ [/m] [b]Z[/b]
Прибавляем [m] \frac{1}{4}[/m]
[m] \frac{3}{2}+ \frac{1}{4}≤ -\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+2k ≤3+ \frac{1}{4} , k ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m] \frac{7}{4}≤2k ≤3 \frac{1}{4} , k ∈ [/m] [b]Z[/b]
Неравенству удовлетворяет k=1
Значит указанному отрезку принадлежит корень
[m]x =-\frac{π}{4}+2π[/m]
[red][m]x =\frac{7π}{4}[/m] [/red]
О т в е т. [m]\frac{7π}{4}; 2π; 3π[/m] 