Задача 75914 Даны вершины треугольника: А(7; 2),...

65c894a0db54e15118de05b5

2/20/2024 11:58:59 AM

Даны вершины треугольника: А(7; 2), В(1;9), С(-8; -11). Най-
ти расстояние от точки О пересечения медиан треугольника до
вершины В.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/20/2024 3:04:34 PM

★

A(7; 2); B(1; 9); C(-8; -11)
Медиана из вершины В приходит в точку М - середину отрезка АС.
Координаты точки М равны средним арифметическим А и С.
[m]M=(\frac{7-8}{2}; \frac{2-11}{2}) = (-\frac{1}{2}; -\frac{9}{2})[/m]
Длина медианы BM:
[m]|BM|= \sqrt{(1+\frac{1}{2})^2+(9+\frac{9}{2})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{27}{2})^2} = [/m]
[m]= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{729}{4}} = \sqrt{\frac{738}{4}} = \frac{\sqrt{738}}{2} = \frac{3\sqrt{82}}{2}[/m]

Медианы пересекаются в точке О.
Известная теорема:
Точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1 от вершин.
Это значит, что длина [m]|OM| = \frac{2}{3} \cdot |BM|[/m]
Таким образом, получаем:
[m]|OM| = \frac{2}{3} \cdot |BM| = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{82}}{2} = \sqrt{82}[/m]