Задача 75912 решить интеграл номер 19,20...
Условие
математика ВУЗ
33
Решение
★
[m]∫ x^2\sqrt{1-x^2}dx=[/m]
Замена переменной, тригонометрические подстановки:
[m]x=sint[/m]
тогда
[m] dx=(sint)`dt[/m] ⇒ [m]dx=cost dt[/m]
[m]1-x^2=1-sin^2t=cos^2t[/m]
[m]\sqrt{1-x^2}=cost[/m]
Получим
[m]∫ (sint)^2\cdot cost \cdot cost dt= ∫sin^2t\cdot cos^2t dt= [/m]
[m]= ∫ \frac{1-cos2t}{2}\cdot \frac{1+cos2t{{2}dt=[/m]
[m]= \frac{1}{4}∫(1-cos^22t}dt= \frac{1}{4}∫sin^22t dt= \frac{1}{4}∫\frac{1-cos4t}{2}dt=\frac{1}{8}t-\frac{1}{32}sin4t +C[/m]
[m]x=sint[/m] ⇒ [m]t=arcsinx[/m]
[m]=\frac{1}{8}arcsinx-\frac{1}{32}sin(4arcsinx)+C[/m]