Задача 75911 решить интеграл номер 13,14,15...
Условие
Решение
Как и 12, решается методом неопределенных коэффициентов.
Но с небольшим отличием.
[m]\frac{2x+5}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{A1}{x-2} + \frac{A2 \cdot x+A3}{x^2+4} = \frac{A1(x^2+4)}{(x-2)(x^2+4)} + \frac{(A2 \cdot x+A3)(x-2)}{(x-2)(x^2+4)} =[/m]
[m]= \frac{A1(x^2+4) + A2 \cdot x^2+A3 \cdot x - 2A2 \cdot x - 2A3}{(x-2)(x^2+4)=}[/m]
[m]= \frac{(A1+A2)x^2 + (A3 - 2A2)x + (4A1-2A3)}{(x-2)(x^2+4)}[/m]
Система:
{ A1 + A2 = 0
{ - 2A2 + A3 = 2
{ 4A1 - 2A3 = 5
Решите эту систему сами, она несложная.
Результат. Сумма интегралов:
[m]\int \frac{(2x+5)dx}{(x-2)(x^2+4)} = \int \frac{A1dx}{x-2} + \int \frac{A2 \cdot xdx}{x^2+4} + \int \frac{A3dx}{x^2+4}[/m]
Все три интеграла табличные, тоже можете решить самостоятельно.
Если будут вопросы, обращайтесь.
14) [m]\int \frac{(x^3+2x+1)dx}{x^2-4x}[/m]
Здесь сначала нужно выделить целую часть:
Делим многочлен на многочлен с остатком:
x^3 + 2x + 1 = (x^2 - 4x)(x + 4) + (18x + 1)
Получаем сумму интегралов:
[m]\int \frac{(x^3+2x+1)dx}{x^2-4x} = \int (x+4)dx + \int \frac{(18x+1)dx}{x^2-4x} = \frac{x^2}{2} + 4x + \int \frac{(18x+1)dx}{x(x-4)}[/m]
Второй интеграл опять берется методом неопределенных коэффициентов.
[m]\int \frac{18x+1}{x(x-4)} = \frac{A1}{x} + \frac{A2}{x-4}[/m]
Решается тем же способом.
Результат:
[m]\frac{x^2}{2} + 4x + \int \frac{A1dx}{x} + \int \frac{A2dx}{x-4}= \frac{x^2}{2} + 4x + A1*ln |x| + A2*ln |x-4| + C[/m]
15) [m]\int \frac{dx}{3\sin(x) + 2\cos(x)}[/m]
Это я не знаю, как решать.