Задача 75910 решить интеграл номер 10,11,12...
Условие
Решение
1 интеграл берется по частям. u = x, dv = e^(5x) dx; du = dx; v = 1/5*e^(5x)
2 интеграл табличный.
[m]=\frac{x}{5} \cdot e^{5x} - \frac{1}{5} \int e^{5x}dx - \int e^{5x}dx = \frac{x}{5} \cdot e^{5x} - \frac{1}{25} \cdot e^{5x} - \frac{1}{5} \cdot e^{5x} + C=[/m]
[m]= e^{5x}(\frac{x}{5} - \frac{1}{25} - \frac{5}{25}) + C= e^{5x} \cdot \frac{5x-6}{25}+ C[/m]
11) [m]\int (x^2-3x)\sin(2x)dx[/m]
Этот интеграл берется два раза по частям.
u1 = x^2 - 3x; dv1 = sin(2x) dx; du1 = 2x - 3; v1 = -1/2*cos(2x)
[m](x^2 - 3x)(-\frac{1}{2} \cdot \cos(2x)) + \frac{1}{2} \int (2x-3)\cos(2x) dx[/m]
u2 = 2x - 3; dv2 = cos(2x) dx; du2 = 2dx; v2 = 1/2*sin(2x)
[m]\int (x^2-3x)\sin(2x)dx=-\frac{x^2 - 3x}{2} \cdot \cos(2x) + \frac{1}{2}(2x-3)\sin(2x) - \frac{2}{2}\int \sin(2x)dx =[/m]
[m]=\frac{-x^2 + 3x}{2} \cdot \cos(2x) + \frac{2x-3}{2} \cdot \sin(2x) - \frac{1}{2}(-cos(2x)) +C=[/m]
[m]= \frac{-x^2 + 3x}{2} \cdot \cos(2x) + \frac{2x-3}{2} \cdot \sin(2x) + \frac{1}{2} \cdot cos(2x) +C =[/m]
[m]=\frac{-x^2 + 3x+1}{2} \cdot \cos(2x) + \frac{2x-3}{2} \cdot \sin(2x) + C[/m]
12) [m]\int \frac{(4x+1)dx}{(x+3)(x-1)^2}[/m]
Этот интеграл можно решить методом неопределенных коэффициентов.
Раскладываем дробь на сумму дробей с неизвестными числителями:
[m]\frac{4x+1}{(x+3)(x-1)^2} = \frac{A1}{x+3} + \frac{A2}{x-1} + \frac{A3}{(x-1)^2} = \frac{A1(x-1)^2 + A2(x+3)(x-1) + A3(x+3)}{(x+3)(x-1)^2} =[/m]
[m]= \frac{A1(x^2-2x+1) + A2(x^2+2x-3) + A3(x+3)}{(x+3)(x-1)^2} = [/m]
[m]= \frac{A1x^2-2A1x+A1 + A2x^2+2A2x-3A2 + A3x+3A3}{(x+3)(x-1)^2} = [/m]
[m]= \frac{x^2(A1+A2) + x(-2A1+2A2+ A3)+(A1 -3A2 +3A3)}{(x+3)(x-1)^2}[/m]
Составляем систему, уравнивая коэффициенты при степенях x:
{ A1 + A2 = 0
{ -2A1 + 2A2 + A3 = 4
{ A1 - 3A2 + 3A3 = 1
Решаем подстановкой:
{ A2 = -A1
{ - 2A1 - 2A1 + A3 = 4
{ A1 + 3A1 + 3A3 = 1
Приводим подобные:
{ A2 = -A1
{ - 4A1 + A3 = 4
{ 4A1 + 3A3 = 1
Складываем 2 и 3 уравнения:
- 4A1 + A3 + 4A1 + 3A3 = 4 + 1
4A3 = 5
A3 = 5/4
Из 2 уравнения:
A3 - 4 = 4A1
4A1 = 5/4 - 4 = -11/4
A1 = -11/16
A2 = -A1 = 11/16
Получаем такую сумму интегралов:
[m]\int \frac{(4x+1)dx}{(x+3)(x-1)^2} = \int (\frac{A1}{x+3} + \frac{A2}{x-1} + \frac{A3}{(x-1)^2}) dx = \int (-\frac{11}{16} \frac{dx}{x+3}) + \int \frac{11}{16} \frac{dx}{x-1} + \int \frac{5}{4} \frac{dx}{(x-1)^2}= [/m]
[m]=-\frac{11}{16} \ln|x+3| + \frac{11}{16} \ln|x-1| - \frac{5}{4} \frac{1}{x-1} + C= \frac{11}{16} \ln |\frac{x-1}{x+3}| - \frac{5}{4} \frac{1}{x-1} + C[/m]