Задача 75898 в прямоугольном треугольнике с катетами...
Условие
Решение
Дано: В треугольник с катетами 10 см и 16 см вписан прямоугольник.
Обозначим его стороны а и b. Его площадь - наибольшая.
Найти: его площадь S = ab.
Решение.
Найдем соотношение сторон прямоугольника a и b, при котором площадь прямоугольника будет наибольшей.
На рисунке показаны красным цветом два крайних прямоугольника.
У одного a ≈ 16 см, b ≈ 0. У другого a ≈ 0, b ≈ 10 см.
У обоих площадь S ≈ 0.
Зелёным показан какой-то средний прямоугольник, у которого площадь S максимальна.
Чтобы ее найти, нужно понять, как сторона b зависит от а.
Можно составить таблицу соответствия:
a = 0 ; 16
b = 10; 0
Составим уравнение прямой - гипотенузы треугольника по точкам.
b = k*a + c
{ 10 = k*0 + c
{ 0 = k*16 + c
Из 1 уравнения c = 10, из 2 уравнения k = -10/16 = -5/8
b = 10 - 5/8*a
Подставляем в уравнение площади:
S = ab = a(10 - 5/8*a) = 10a - 5/8*a^2
В точке максимума площади ее производная будет равна 0.
S' = 10 - 5/8*2a = 10 - 5/4*a = 0
5/4*a = 10
a = 4*10/5 = 8
b = 10 - 5/8*8 = 10 - 5 = 5
S(max) = ab = 8*5 = 40
Ответ: 40 кв.см
Все решения
xy = S, (уравнение 2)
где S - это площадь прямоугольника.
x(10 - x) = S.
10x - x^2 = S.
Теперь, чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, нам нужно найти значение x, при котором выражение 10x - x^2 достигает максимума.
d/dx (10x - x^2) = 0.
10 - 2x = 0,
2x = 10,
x = 5.
5 + y = 10,
y = 5.
S = xy = 5 см * 5 см = 25 см^2.
Ответ: 25