Задача 75890 решить интегралы под номером 7,8,9...
Условие
Решение
7) [m]\int \frac{(2x-1)dx}{x^2-2x+5} = \int \frac{(2x-2+1)dx}{x^2-2x+5} = \int \frac{(2x-2)dx}{x^2-2x+5} + \int \frac{dx}{x^2-2x+5}[/m]
Первый интеграл - замена y = x^2-2x+5; dy = (2x-2)dx
Второй интеграл - разложим знаменатель: x^2-2x+5 = x^2-2x+1+4 = (x-1)^2+4
[m]\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dx}{(x-1)^2+4} = \ln\ |y| + \frac{1}{2} \cdot arctg(\frac{x-1}{2})+C=[/m]
[m]=\ln\ |x^2-2x+5| + \frac{1}{2} \cdot arctg(\frac{x-1}{2})+C[/m]
8) [m]\int \frac{(x+3)dx}{\sqrt{3+4x-4x^2}} = \int \frac{(x+3)dx}{\sqrt{4-1+4x-4x^2}}= \int \frac{(x+3)dx}{\sqrt{4-(1-2x)^2}}=[/m]
[m]=\int \frac{xdx}{\sqrt{4-(1-2x)^2}} + \int \frac{3dx}{\sqrt{4-(1-2x)^2}}= -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4-(1-2x)^2} - \frac{3}{2} \cdot arcsin(\frac{1-2x}{2}) + C[/m]
9) [m] \int (2x^2+x) \cdot \ln(x)\ dx[/m]
Решаем по частям. u = ln x; dv = (2x^2 + x) dx; du = dx/x; v = 2x^3/3 + x^2/2
[m] \int (2x^2+x) \cdot \ln(x)\ dx = uv - \int v\ du = \ln(x)(\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}) - \int (\frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}) \frac{dx}{x} =[/m]
[m]= \ln(x) \cdot \frac{4x^3+3x^2}{6} - \int (\frac{2x^2}{3} + \frac{x}{2})\ dx = \ln(x) \cdot \frac{4x^3+3x^2}{6} - \frac{2x^2}{9} + \frac{x^2}{4} + C[/m]