Задача 75882 Найдите целые решения системы: x + y -...

641174128cfb9210f616c190

2/18/2024 4:58:20 PM

Найдите целые решения системы:

x + y - z = 0,
-zx - 2y + z^2 = 1.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/18/2024 7:59:56 PM

★

{ x + y - z = 0
{ -zx - 2y + z^2 = 1
Решаем подстановкой
{ z = x + y
{ -(x + y)*x - 2y + (x + y)^2 = 1
Раскрываем скобки:
{ z = x + y
{ -x^2 - xy - 2y + x^2 + 2xy + y^2 = 1
Приводим подобные:
{ z = x + y
{ xy - 2y + y^2 = 1
Выносим y за скобки:
{ z = x + y
{ y(y + x - 2) = 1
Если произведение двух целых чисел равно 1, то каждое равно 1 или -1.

1)
{ y = 1
{ z = x + y
{ y + x - 2 = 1
Подставляем:
{ y = 1
{ z = x + y
{ 1 + x - 2 = 1
Получаем:
x = 2; y = 1; z = x + y = 2 + 1 = 3
Решение: (2; 1; 3)

2)
{ y = -1
{ z = x + y
{ y + x - 2 = -1
Подставляем:
{ y = -1
{ z = x + y
{ -1 + x - 2 = -1
Получаем:
x = 2; y = -1; z = x + y = 2 - 1 = 1
Решение: (2; -1; 1)