Задача 75875 Вычислить площадь криволинейной функции...
Условие
Решение
Чтобы найти точки пересечения функций y = x^2 и y = sqrt(x), решаем уравнение x^2 = sqrt(x).
Это можно переписать как x^4 = x.
Далее, x^4 - x = 0,
x(x^3 - 1) = 0,
x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.
Таким образом, x = 0 или x = 1 являются реальными корнями этого уравнения (x^2 + x + 1 = 0 не имеет реальных корней).
Теперь вычислим площадь между этими кривыми на интервале от 0 до 1. Площадь, ограниченная между кривыми, найдется как разность интегралов этих функций на заданном интервале.
S = ∫ от 0 до 1 (sqrt(x) - x^2) dx.
Чтобы проинтегрировать, найдем интегралы по отдельности:
∫sqrt(x) dx = (2/3)x^(3/2),
∫x^2 dx = (1/3)x^3.
Теперь подставим пределы интегрирования:
S = (2/3)*1^(3/2) - (1/3)*1^3 - (2/3)*0^(3/2) - (1/3)*0^3 = (2/3) - (1/3) = 1/3.
Ответ: 1/3. 