Задача 75869 ...
Условие
Решение
{ y^4 + x^2 = a^2 - 3a + 4
Выражаем y^2 через х в 1 уравнении и подставляем во 2 уравнение:
{ y^2 = x + 4 - 2a
{ (x + 4 - 2a)^2 + x^2 = a^2 - 3a + 4
x^2 + 2x(4 - 2a) + (4 - 2a)^2 + x^2 = a^2 - 3a + 4
2x^2 + 2x(4 - 2a) + 16 - 16a + 4a^2 - a^2 + 3a - 4 = 0
2x^2 + 2x(4 - 2a) + (3a^2 - 13a + 12) = 0
D/4 = (4 - 2a)^2 - 2(3a^2 - 13a + 12) = 16 - 16a + 4a^2 - 6a^2 + 26a - 24 =
= -2a^2 + 10a - 8
Если D/4 > 0, то есть два корня
-2a^2 + 10a - 8 > 0
a^2 - 5a + 4 < 0
(a - 1)(a - 4) < 0
a ∈ (1; 4) - при этом будет два корня:
x1 = (2a - 4 - sqrt(-2a^2 + 10a - 8))/2 = a - 2 - sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2
y11 = -sqrt(x1 + 4 - 2a) = -sqrt(2 - a - sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
y12 = sqrt(x1 + 4 - 2a) = sqrt(2 - a - sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
Но подходят только a, при которых:
2 - a - sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2 ≥ 0
sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2 ≤ 2 - a
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то
a ≤ 2
-2a^2 + 10a - 8 ≤ 4 - 4a + a^2
3a^2 - 14a + 12 ≥ 0
D/4 = 7^2 - 3*12 = 49 - 36 = 13
a1 = (7 - sqrt(13))/3 ≈ 1,69
a2 = (7 + sqrt(13))/3 ≈ 5,3
a ∈ (-oo; (7 - sqrt(13))/3) U ((7 + sqrt(13))/3; +oo)
Но a ∈ (1; 2], поэтому:
a ∈ (1; (7 - sqrt(13))/3)
x2 = (2a - 4 + sqrt(-2a^2 + 10a - 8))/2 = a - 2 + sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2
y21 = -sqrt(x2 + 4 - 2a) = -sqrt(2 - a + sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
y22 = sqrt(x2 + 4 - 2a) = sqrt(2 - a + sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
Но подходят только a, при которых:
2 - a + sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2 ≥ 0
sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2 ≥ a - 2
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то
a ≥ 2
-2a^2 + 10a - 8 ≤ a^2 - 4a + 4
3a^2 - 14a + 12 ≥ 0
D/4 = 7^2 - 3*12 = 49 - 36 = 13
a1 = (7 - sqrt(13))/3 ≈ 1,69
a2 = (7 + sqrt(13))/3 ≈ 5,3 > 4
a ∈ (-oo; (7 - sqrt(13))/3) U ((7 + sqrt(13))/3; +oo)
Но a ∈ [2; 4], поэтому в этом варианте решений нет.
При а = 1 будет D/4 = 0, тогда:
x = (2a - 4)/2 = a - 2 = 1 - 2 = -1
y1 = -sqrt(x + 4 - 2a) = -sqrt(a - 2 + 4 - 2a) = -sqrt(2 - a) = -1
y2 = sqrt(x + 4 - 2a) = sqrt(a - 2 + 4 - 2a) = sqrt(2 - a) = 1
При a ∈ (-oo; 1) U (4; +oo) решений нет.
Ответ:
При a ∈ (1; (7 - sqrt(13))/3) будет два решения:
x = a - 2 - sqrt(-2a^2 + 10a - 8)/2
y1 = - sqrt(2 - a - sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
y2 = sqrt(2 - a - sqrt((-2a^2 + 10a - 8))/2)
При a = 1 будет тоже два решения: x =-1; y1 = -1; y2 = 1
При всех остальных значениях а решений нет.