Задача 75836 ...

632f635587d19127bff140f0

2/14/2024 5:26:22 PM

Упростите выражение: tg(α + 45°) + tg(α - 45°). Ответы: - tg2α

tgα

2tg2α

ctg2α

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/14/2024 5:57:28 PM

★

tg(a + 45°) + tg(a - 45°)
Есть формулы тангенса суммы и разности:
[m]tg(a+b) = \frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a) \cdot tg(b)}[/m]
[m]tg(a-b) = \frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a) \cdot tg(b)}[/m]
Подставляем:
[m]\frac{tg(a)+tg(45°)}{1-tg(a) \cdot tg(45°)} + \frac{tg(a)-tg(45°)}{1+tg(a) \cdot tg(45°)} = \frac{tg(a)+1}{1-tg(a) \cdot 1} + \frac{tg(a)-1}{1+tg(a) \cdot 1} =[/m]
[m]=\frac{tg(a)+1}{1-tg(a)} - \frac{1-tg(a)}{1+tg(a)} = \frac{(1+tg(a))(1+tg(a))}{(1-tg(a))(1+tg(a))} - \frac{(1-tg(a))(1-tg(a))}{(1-tg(a))(1+tg(a))} =[/m]
[m]= \frac{(1+tg(a))^2 - (1-tg(a))^2}{(1-tg(a))(1+tg(a))} [/m]
Получили разность квадратов в числителе, разложим ее на произведение суммы и разности выражений.
В знаменателе тоже разность квадратов:
[m]= \frac{(1+tg(a)+1-tg(a))(1+tg(a)-1+tg(a))}{1-tg^2(a)} = \frac{2 \cdot 2tg(a)}{1-tg^2(a)} = 2 \cdot tg(2a)[/m]

Ответ: 3) 2tg 2a