Задача 75808 Как это решить ...

641174128cfb9210f616c190

2/12/2024 5:16:39 PM

Как это решить

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/12/2024 9:17:22 PM

★

Уравнение: 2x^2 - 4x + 1 = 0, его корни x1, x2.
Найти x1^2*x2^5 + x1^5*x2^2
Решение.
Коэффициенты в уравнении:
a = 2; b = -4; c = 1
Теорема Виета для квадратного уравнения:
{ x1 + x2 = -b/a = 4/2 = 2
{ x1*x2 = c/a = 1/2 = 0,5

Наше выражение: x1^2*x2^5 + x1^5*x2^2
Нужно разложить на сумму и произведение комбинаций из (x1 + x2) и (x1*x2)
x1^2*x2^5 + x1^5*x2^2 = x1^2*x2^2*(x1^3 + x2^3) =
= (x1*x2)^2*(x1 + x2)*(x1^2 - x1*x2 + x2^2) =
= (x1*x2)^2*(x1 + x2)*(x1^2 + 2*x1*x2 + x2^2 - 3*x1*x2) =
= (x1*x2)^2*(x1 + x2)*((x1 + x2)^2 - 3*x1*x2)
Подставляем теперь значения из теоремы Виета:
(x1*x2)^2*(x1 + x2)*((x1 + x2)^2 - 3*x1*x2) =
= (0,5)^2*2*(2^2 - 3*0,5) = 0,25*2*(4 - 1,5) = 0,5*2,5 = 1,25

Ответ: 1,25