Задача 75802 Очень надо, дам 100 баллов...
Условие
Решение
1) |x| = 4
x1 = -4; x2 = 4
2) 7^(x-1) = 49
7^(x-1) = 7^2
x - 1 = 2
x = 3
3) cos x = sqrt(3)/2
x = +-π/6 + 2π*n, n ∈ Z
Задача
За 2 часа велосипедист проехал 34 км, причем за второй час на 2 км больше, чем за первый.
Сколько км он проехал за каждый час?
Обозначим x км путь, который велосипедист проехал за первый час. Тогда за второй час он проехал x+2 км.
x + x + 2 = 34
2x = 32
Ответ:
x = 16 км проехал за первый час
x + 2 = 18 км проехал за второй час.
Уравнения.
1) [m]\frac{8}{x^2-16} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{x^2-8x+16}[/m]
Область определения для дробей:
x ≠ -4; x ≠ 4
[m]\frac{8}{(x-4)(x+4)} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{(x-4)^2}[/m]
Приводим к общему знаменателю и переносим всё налево:
[m]\frac{8(x-4)}{(x-4)^2(x+4)} + \frac{(x-4)^2}{(x+4)(x-4)^2} - \frac{4(x+4)}{(x+4)(x-4)^2}=0[/m]
[m]\frac{8x-32+x^2-8x+16-4x-16}{(x+4)(x-4)^2}=0[/m]
[m]\frac{x^2-4x-32}{(x+4)(x-4)^2}=0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0.
x^2 - 4x - 32 = 0
D = (-4)^2 - 4*1(-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2
x1 = (4 - 12)/2 = -8/2 = -4 - не подходит по области опр.
x2 = (4 + 12)/2 = 16/2 = 8
Ответ: 8
2) [m]\sqrt{x+1} + \sqrt{x-2} = 3[/m]
Область определения для корней:
x ≥ 2
[m]\sqrt{x+1} = 3 - \sqrt{x-2}[/m]
Возводим в квадрат.
[m]x + 1 = 9 - 6\sqrt{x-2} + (x - 2)[/m]
Выделяем корень:
[m]6\sqrt{x-2} = 9 - 2 - 1[/m]
[m]6\sqrt{x-2} = 6[/m]
[m]\sqrt{x-2} = 1[/m]
Снова возводим в квадрат:
x - 2 = 1
x = 3
Ответ: 3
Уравнение
[m]\log_8(8x) \cdot \log_2(x) = \log_2(x) + 3[/m]
Перейдем к новому основанию 2:
[m]\log_8(8x) = \frac{\log_2(8x)}{\log_2(8)} = \frac{\log_2(8) + \log_2(x)}{3} = \frac{3 + \log_2(x)}{3}[/m]
Получили:
[m]\frac{3 + \log_2(x)}{3} \cdot \log_2(x) = \log_2(x) + 3[/m]
Умножаем всё на 3, избавляемся от дробей:
[m](3 + \log_2(x)) \cdot \log_2(x) = 3\log_2(x) + 9[/m]
Замена [m]y = \log_2(x)[/m], тогда x = 2^(y):
(3 + y)*y = 3y + 9
3y + y^2 = 3y + 9
y^2 = 9
y1 = -3; x1 = 2^(y1) = 2^(-3) = 1/8
y2 = 3; x2 = 2^(y2) = 2^3 = 8
Ответ: x1 = 1/8; x2 = 8