Задача 75792 Показать, что четырехугольник с...
Условие
A(-5;3; 4),
В (-1; -7;5), С (6; -5; -3) и D(2;5; -4) есть квадрат.
Решение
С начала рассчитаем длины всех сторон квадрата. Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
√((х2-х1)^2 + (у2-у1)^2 + (z2-z1)^2)
Тогда расчеты будут следующими:
AB = √((-1 - -5)^2 + (-7 - 3)^2 + (5 - 4))^2) = √((4)^2 + (-10)^2 + (1)^2) = √(16+100+1) = √117
BC = √((6 - -1)^2 + (-5 - -7)^2 + (-3 - 5)^2) = √((7)^2 + (2)^2 + (-8)^2) = √(49+4+64) = √117
CD = √((2 - 6)^2 + (5 - -5)^2 + (-4 - -3)^2) = √((-4)^2 + (10)^2 + (-1)^2) = √(16+100+1) = √117
DA = √((-5 - 2)^2 + (3 - 5)^2 + (4 - -4)^2) = √((-7)^2 + (-2)^2 + (8)^2) = √(49+4+64) = √117
Все стороны равны, поэтому фигура может быть квадратом. Теперь проверим углы:
Сначала найдём векторы AB, BC, CD, DA:
AB = (-1 - -5, -7 - 3, 5 - 4) = (4,-10,1)
BC = (6 - -1, -5 - -7, -3 - 5) = (7,2,-8)
CD = (2 - 6, 5 - -5, -4 - -3) = (-4,10,-1)
DA = (-5 - 2, 3 - 5, 4 - -4) = (-7,-2,8)
Теперь найдём косинус угла между векторами AB и BC:
cos(AB,BC) = (AB*BC) / |AB| * |BC|
cos(AB,BC) = ((4*7 + -10*2 + 1*-8) / √((4)^2 + (-10)^2 + (1)^2) * √((7)^2 + (2)^2 + (-8)^2))
= (28 - 20 - 8) / (√117 * √117) = 0 / 117 = 0
Это означает, что угол между векторами равен 90 градусов, так как cos(90) = 0
Аналогично найдём угол между векторами BC и CD:
cos(BC,CD) = ((7*-4 + 2*10 + -8*-1) / √((7)^2 + (2)^2 + (-8)^2) * √((-4)^2 + (10)^2 + (-1)^2))
= (-28 + 20 + 8) / (√117 * √117) = 0 / 117 = 0
И угол между векторами CD и DA:
cos(CD,DA) = ((-4*-7 + 10*-2 + -1*8) / √((-4)^2 + (10)^2 + (-1)^2) * √((-7)^2 + (-2)^2 + (8)^2))
= (28 - 20 - 8) / (√117 * √117) = 0 / 117 = 0
Таким образом, все стороны равны и все углы равны 90 градусов, поэтому данная фигура является квадратом.