Задача 75787 Найти углы между осямм координат и...
Условие
Решение
Решение:
Радиус-вектор точки M определяется так: OM = (-2i + 3j + k), где i, j, k - единичные векторы вдоль осей X, Y, Z соответственно.
Геометрическая интерпретация скалярного произведения двух векторов: a*b = |a| * |b| * cos(α), где α - угол между векторами. Отсюда можно выразить косинус угла между векторами: cos(α) = a*b / (|a| * |b|)
Так как оси координат - это единичные векторы i, j, k, то мы можем выразить углы α, β, γ между радиус-вектором точки M и осями X, Y, Z соответственно.
Сначала найдем длину радиус-вектора точки M:
|OM| = sqrt((-2)^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(14)
Теперь найдем косинусы углов α, β, γ:
cos(α) = i * OM / |i| * |OM| = -2 / 1 * sqrt(14) = -2/sqrt(14)
cos(β) = j * OM / |j| * |OM| = 3 / 1 * sqrt(14) = 3/sqrt(14)
cos(γ) = k * OM / |k| * |OM| = 1 / 1 * sqrt(14) = 1/sqrt(14)
Углы α, β, γ находим как арккосинусы найденных косинусов:
α = arccos(-2/sqrt(14))
β = arccos(3/sqrt(14))
γ = arccos(1/sqrt(14))
Ответ:
α = arccos(-2/sqrt(14))
β = arccos(3/sqrt(14))
γ = arccos(1/sqrt(14))