Задача 75770 ...

65c60a283f7efb2eafddbb2e

2/9/2024 11:41:27 AM

Решите неравенство 3/log_(2)lx+1l-2 - 4/ log_(2)lx+1l-1 ≥1

65c4e9ea3f7efb2eafddb98b

2/9/2024 3:00:57 PM

★

Ответ: В конце на 2 фотографии.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/10/2024 9:51:40 AM

[m]\frac{3}{log_2 |x+1| - 2} - \frac{4}{log_2 |x+1| - 1} ≥ 1[/m]
ОДЗ:
{ x ≠ -1
{ log_2 |x+1| ≠ 2
{ log_2 |x+1| ≠ 1
Решаем:
{ x ≠ -1
{ |x + 1| ≠ 4
{ |x + 1| ≠ 2
Получаем:
{ x ≠ -1
{ x ≠ -5; x ≠ 3
{ x ≠ -3; x ≠ 1
Решаем неравенство.
Сделаем замену [m]y=log_2 |x+1| [/m].
[m]\frac{3}{y - 2} - \frac{4}{y - 1} - 1 ≥ 0[/m]
ОДЗ: y ≠ 1; y ≠ 2

[m]\frac{3(y-1)}{(y - 2)(y-1)} - \frac{4(y-2)}{(y - 1)(y-2)} - \frac{(y - 1)(y-2)}{(y - 1)(y-2)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{3y-3 - (4y-8) - (y^2-3y+2)}{(y - 2)(y-1)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{3y-3 - 4y+8 - y^2+3y-2}{(y - 2)(y-1)} ≥ 0[/m]
[m]\frac{- y^2+2y+3}{(y - 2)(y-1)} ≥ 0[/m]
Поменяем знаки в числителе, при этом меняется знак:
[m]\frac{y^2-2y-3}{(y - 2)(y-1)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{(y+1)(y-3)}{(y - 2)(y-1)} ≤ 0[/m]
По методу интервалов имеем промежутки:
(-oo; -1]; [-1; 1); (1; 2); (2; 3]; [3; +oo)
Берем любое число, например, y = 0:
[m]\frac{(0+1)(0-3)}{(0 - 2)(0-1)} = \frac{1(-3)}{(-2)(-1)} = \frac{-3}{2}< 0[/m]
Подходит, значит, промежуток [-1; 1) входит в решение.
Получаем:
y ∈ [-1; 1) U (2; 3]
Возвращаемся обратно к иксу:
log_2 |x + 1| ∈ [-1; 1) U (2; 3]
|x + 1| ∈ [1/2; 2) U (4; 8]
Получаем два решения:
x + 1 ∈ [1/2; 2) U (4; 8]
x1 ∈ [-1/2; 1) U (3; 7]

-x - 1 ∈ [1/2; 2) U (4; 8]
-x2 ∈ [3/2; 3) U (5; 9]
x2 ∈ [-9; -5) U (-3; -3/2]

Решение: x ∈ [-9; -5) U (-3; -3/2] U [-1/2; 1) U (3; 7]
Ответ: -9