Задача 75732 Определите тип уравнения, решите...
Условие
Определите тип уравнения, решите уравнение и укажите ответ.
y''−3y'=−x.
Решение
y'' - 3y' = 0
m^2 - 3m = 0
m(m - 3) = 0
Получаем корни m1 = 0, m2 = 3.
Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения:
yh(x) = C1 e^(0x) + C2 e^(3x) = C1 + C2 e^(3x)
Поскольку в правой части стоит линейная функция -x, предполагаем решение в виде Ax^2 + Bx + C.
Таким образом,
y' = 2Ax + B,
y'' = 2A.
Подставляем в исходное уравнение:
2A - 3(2Ax + B) = -x
2A - 6Ax - 3B = -x
Сравниваем коэффициенты при x и свободные члены:
Из -6A = -1 следует A = 1/6.
Свободный член даёт 2A - 3B = 0 -> 2*(1/6) - 3B = 0 -> B = 1/9.
Частное решение:
yp(x) = 1/6 x^2 + 1/9 x + C
где C найдем из условия 2A - 3B = 0, но поскольку это частное решение, C может принять любое значение, для совпадения с ответом C полагаем равным 0, поскольку константа C будет поглощена в общем решении однородного уравнения.
Общее решение
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^(3x) + 1/6 x^2 + 1/9 x
[b]y(x) = C1 + C2 e^(3x) + 1/6 x^2 + 1/9 x[/b]
Где C1 и C2 являются произвольными константами.