Задача 75731 Определите тип уравнения, решите...
Условие
Определите тип уравнения, решите уравнение и укажите ответ.
(x^2+xy+y^2)dx=x^2dy
математика ВУЗ
76
Решение
★
(1 + y/x + (y/x)^2)dx - dy = 0
2. Введем замену u = y/x, откуда получаем y = ux и dy = udx + xdu.
Подставляем эти выражения в уравнение и получаем:
(1 + u + u^2)dx - (udx + xdu) = 0
Упрощаем, получаем:
(1 + u^2)dx = xdu
Делим обе части на x и на (1 + u^2):
dx/x = du/(1 + u^2)
Интегрируем обе части:
∫(dx/x) = ∫(du/(1 + u^2))
arctan(y/x) = ln|x| + C