Задача 75728 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
1) Область определения: D(X) = (-oo; -3) U (-3; 1) U (1; +oo)
2) Разрывы: x = -3; x = 1. Неустранимые разрывы II рода.
3) Четность: Не четная и не нечетная.
4) Периодичность: Непериодическая.
5) Вертикальные асимптоты: x = -3; x = 1
6) Нули функции: Нет. Функция не равна 0 ни при каком x.
Интервалы знакопостоянства:
При x < -3 будет y > 0
При -3 < x < 1 будет y < 0
При x > 1 будет y > 0
7) Возрастание, убывание, экстремумы.
[m]y' = -\frac{4(2x+2)}{(x^2+2x-3)^2} = 0[/m]
2x + 2 = 0
x = -1;
[m]y(-1) = \frac{4}{(-1)^2+2(-1)-3} = \frac{4}{1-2-3} = \frac{4}{-4} = -1[/m]
При x < -3 будет y' > 0 - функция возрастает
При -3 < x < -1 будет y' > 0 - функция возрастает
При -1 < x < 1 будет y' < 0 - функция убывает
x = -1 - точка максимума
При x > 1 будет y' < 0 - функция убывает
8) Выпуклость, вогнутость, перегибы.
[m]y'' = -\frac{8(x^2+2x-3)^2 - (8x+8) \cdot 2(x^2+2x-3)(2x+2)}{(x^2+2x-3)^4} = -\frac{8(x^2+2x-3) - 2(8x+8)(2x+2)}{(x^2+2x-3)^3} = [/m]
[m] = \frac{24x^2+48x+56}{(x^2+2x-3)^3} = \frac{8(3x^2+6x+7)}{(x^2+2x-3)^3}=0[/m]
3x^2 + 6x + 7 = 0
D/4 = 3^2 - 3*7 = 9 - 21 < 0
Корней нет, точек перегиба тоже нет.
Числитель положителен при любом x.
Значит, знак y'' зависит от знака знаменателя.
При x < -3 будет y'' > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
При -3 < x < 1 будет y'' < 0 - график выпуклый вверх (выпуклый).
При x > 1 будет y'' > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
9) Наклонные и горизонтальные асимптоты.
f(x) = kx + b
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{4}{x(x^2+2x-3)} = 0[/m]
[m]b= \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{4}{x^2+2x-3} - 0 = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{4}{x^2+2x-3} = 0[/m]
f(x) = 0 - горизонтальная асимптота ось Ox.
10) График на рисунке. Вертикальные асимптоты показаны красным.