Задача 75719 ...

632f635587d19127bff140f0

2/6/2024 7:06:34 PM

Дано tg α /2=3, tg β /2=-5.Найдите tg(α-β). Ответы: -8/7, 33/49, -56/33, -2.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

2/6/2024 7:23:34 PM

★

Формула тангенса разности:

tg(α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα ∙ tgβ).

Но у нас даны значения тангенсов половинных углов, а не самих углов. Но есть формула тангенса угла через тангенс его половины:

tgα = 2 ∙ tg(α / 2) / (1 - (tg(α / 2))^2).

Аналогично для β.

Подставим данные в эти формулы, предварительно вычислим квадраты тангенсов половинных углов:

(tg(α / 2))^2 = 3^2 = 9
(tg(β / 2))^2 = 5^2 = 25

Теперь найдем тангенсы через тангенсы половин:

tgα = 2∙3 / (1 - 9) = 6 / -8 = -3/4
tgβ = 2∙-5 / (1 - 25) = -10 / -24 = 5/12

Теперь можно подставить в формулу тангенса разности:

tg(α - β) = (-3/4 - 5/12) / (1 + (-3/4 ∙ 5/12))= (-9/12 - 5/12) / (1 - 15/48) = -14/12 / (48/48 - 15/48) = -7/6 / 33/48 = -56/33.

Ответ: -56/33.