Задача 75716 ...

632f635587d19127bff140f0

2/6/2024 6:44:21 PM

Найдите значение выражения: cos^(2 )α +cos^(2 )(60 ° + α )+cos^(2)(60 ° - α )

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/6/2024 8:24:54 PM

★

cos^2 a + cos^2 (60° - a) + cos^2 (60° + a)
Формулы косинуса суммы и разности:
cos (a + b) = cos a*cos b - sin a*sin b
cos (a - b) = cos a*cos b + sin a*sin b
Поэтому:
cos (60° + a) = cos 60°*cos a - sin 60°*sin a = 1/2*cos a - sqrt(3)/2*sin a
cos (60° - a) = cos 60°*cos a + sin 60°*sin a = 1/2*cos a + sqrt(3)/2*sin a
cos^2 (60° + a) = (1/2*cos a - sqrt(3)/2*sin a)^2 =
= 1/4*(cos a - sqrt(3)*sin a)^2 = 1/4*(cos^2 a - 2sqrt(3)*cos a*sin a + 3sin^2 a)
cos^2 (60° - a) = (1/2*cos a + sqrt(3)/2*sin a)^2 =
= 1/4*(cos a + sqrt(3)*sin a)^2 = 1/4*(cos^2 a + 2sqrt(3)*cos a*sin a + 3sin^2 a)
Подставляем все это в выражение:
cos^2 a + 1/4*(cos^2 a - 2sqrt(3)*cos a*sin a + 3sin^2 a) +
+ 1/4*(cos^2 a + 2sqrt(3)*cos a*sin a + 3sin^2 a) =
= cos^2 a + 1/4*(2cos^2 a + 6sin^2 a) = cos^2 a + 0,5cos^2 a + 1,5sin^2 a =
= 1,5cos^2 a + 1,5sin^2 a = 1,5(cos^2 a + sin^2 a) = 1,5