Задача 75714 Пользуясь формулами сложения найдите tg...

632f635587d19127bff140f0

2/6/2024 6:36:34 PM

Пользуясь формулами сложения найдите tg 105°. Ответы: sqrt( 3)+1/3-3sqrt(3),sqrt( 3)+1, sqrt(3)+1/1-sqrt(3), sqrt(3)+1/sqrt(3)-1.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/6/2024 8:00:27 PM

★

tg 105° = tg (90° + 15°) = -ctg 15° = -ctg (30°/2)
Есть формула котангенса половинного угла:
[m]ctg \frac{a}{2} = \frac{1+cos(a)}{sin(a)}[/m]
Поэтому:
[m]-ctg \frac{30°}{2} = -\frac{1+cos(30°)}{sin(30°)} = -\frac{1+\sqrt{3}/2}{1/2} = -\frac{2+\sqrt{3}}{2/2}=-(2+\sqrt{3})=[/m]
[m]=-\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{-2} =- \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{1-3} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}[/m]
Ответ: tg 105° = (sqrt(3)+1)/(1-sqrt(3))