Задача 75711 а) Решите уравнение: 2sin^2 -5cosx +1...
Условие
Решение
Посмотрим на уравнение:
2sin^2x – 5cosx + 1 = 0.
Чтобы выразить sin^2x через cos^2x, воспользуемся тождеством:
sin^2x = 1 - cos^2x.
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
2(1 - cos^2x) – 5cosx + 1 = 0,
2 - 2cos^2x – 5cosx + 1 = 0,
-2cos^2x – 5cosx + 3 = 0.
Уравнение выглядит как квадратное относительно cosx. Пусть cosx = y, тогда получим:
-2y^2 - 5y + 3 = 0.
Решим это квадратное уравнение. Выглядит оно нестандартно из-за того что перед квадратом стоит отрицательный коэффициент. Приведем его к стандартному виду, умножив все на -1:
2y^2 + 5y - 3 = 0.
Теперь можно приступить к решению квадратного уравнения. Так как квадратное уравнение не раскладывается на множители удобно, мы будем использовать формулу корней квадратного уравнения:
y = -b ± sqrt(b^2 - 4ac) / (2a),
где a = 2, b = 5 и c = -3.
Дискриминант D вычисляется как:
D = b^2 - 4ac,
D = 5^2 - 4 2 (-3),
D = 25 + 24,
D = 49.
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных вещественных корня:
y1 = -5 + sqrt(49) / 4,
y1 = -5 + 7 / 4,
y1 = 2 / 4,
y1 = 0.5,
и
y2 = -5 - sqrt(49) / 4,
y2 = -5 - 7 / 4,
y2 = -12 / 4,
y2 = -3.
Теперь вернемся к исходной переменной cosx:
cosx = 0.5 и cosx = -3.
Однако cosx не может быть меньше -1 или больше 1, поэтому второй корень cosx = -3 не является допустимым.
Итак, остается только первый корень. Условие cosx = 0.5 может быть удовлетворено, когда x равно:
[b]x = π/3 + 2kπ или x = -π/3 + 2kπ,[/b]
где k - любое целое число, так как косинус является периодической функцией с периодом 2π.
Чтобы найти корни уравнения в указанном промежутке [3π; 9π/2], рассмотрим два возможных значения x:
1. x = π/3 + 2kπ,
2. x = -π/3 + 2kπ,
где k - любое целое число.
Для первого случая, чтобы значение x попало в промежуток [3π; 9π/2], нужно найти такое k, при котором будет выполняться это условие. Сделаем это:
3π ≤ π/3 + 2kπ ≤ 9π/2.
Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби:
9π ≤ π + 6kπ ≤ 27π/2.
Теперь вычтем π из всех частей неравенства:
8π ≤ 6kπ ≤ 27π/2 - π/2,
8π ≤ 6kπ ≤ 26π/2,
8π ≤ 6kπ ≤ 13π.
Перепишем это относительно k:
8π/6π ≤ k ≤ 13π/6π,
4/3 ≤ k ≤ 13/6.
Таким образом, k должно быть целым числом в промежутке от 4/3 до 13/6. Поскольку k целое, имеем:
k = 2, 3.
Теперь подставим эти значения k в исходное уравнение:
При k = 2:
x = π/3 + 2*2π = π/3 + 4π = π/3 + 12π/3 = 13π/3.
При k = 3:
x = π/3 + 2*3π = π/3 + 6π = π/3 + 18π/3 = 19π/3.
Для второго случая со значением x = -π/3 + 2kπ применяем ту же логику:
3π ≤ -π/3 + 2kπ ≤ 9π/2.
Умножаем все части на 3:
9π ≤ -π + 6kπ ≤ 27π/2.
Добавляем π к каждой части:
10π ≤ 6kπ ≤ 27π/2 + π/2,
10π ≤ 6kπ ≤ 28π/2,
10π ≤ 6kπ ≤ 14π.
Перепишем это относительно k:
10π/6π ≤ k ≤ 14π/6π,
5/3 ≤ k ≤ 7/3.
Так как k целое число, то в данном случае подходит только одно значение k:
k = 2.
Подставляем k = 2 в исходное уравнение:
x = -π/3 + 2*2π = -π/3 + 4π = -π/3 + 12π/3 = 11π/3.
Теперь у нас есть три значения x, которые удовлетворяют исходному условию:
x = 13π/3,
x = 19π/3,
x = 11π/3.
Однако 19π/3 больше, чем 9π/2, поэтому это значение нас не устраивает. Остаются только два значения:
x = 11π/3 и
x = 13π/3.
Проверяем, что оба значения попадают в интервал [3π; 9π/2]:
3π = 9π/3, 9π/2 = 13.5π/3,
11π/3 > 9π/3 и 11π/3 < 13.5π/3,
13π/3 > 9π/3 и 13π/3 < 13.5π/3.
Оба значения удовлетворяют заданному интервалу.
Ответ:
[b]x = π/3 + 2kπ[/b] или[b] x = -π/3 + 2kπ[/b], где k - любое целое число.
корни уравнения на указанном промежутке в [3π; 9π/2] равны [b]11π/3[/b] и [b]13π/3[/b].