Задача 75689 ...
Условие
Решение
1. Найдем производную от данной функции:
y' = 3x^2 - 2x - 1
2. Определим критические точки, приравнивая производную к нулю:
3x^2 - 2x - 1 = 0
Решим это квадратное уравнение:
a = 3, b = -2, c = -1
x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
= (2 +/- sqrt(4 + 12)) / 6
= (2 +/- sqrt(16)) / 6
= (2 +/- 4) / 6
Получаем два корня:
x1 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
x2 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3
Корень x2 = -1/3 не лежит в интервале 0; 2, поэтому учитываем только x1 = 1.
3. Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- При x = 0: y = 0^3 - 0^2 - 0 + 12 = 12
- При x = 1: y = 1^3 - 1^2 - 1 + 12 = 11
- При x = 2: y = 2^3 - 2^2 - 2 + 12 = 14
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке 0; 2 равно 14, а наименьшее — 11.
Все решения
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x³ - x² - x + 12 на интервале [0;2], мы должны проанализировать экстремумы функции и значения функции на границах интервала.
Сначала найдем производную функции, чтобы найти точки, где происходит изменение её поведение. Дифференцируя функцию y = x³ - x² - x + 12, получим y' = 3x² - 2x - 1.
Затем приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения 3x² - 2x - 1 = 0:
3x² - 2x - 1 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы получим два значения x:
x₁ ≈ 1.53
x₂ ≈ -0.20
Теперь проверим значения функции на границах интервала [0;2]:
- Для x = 0, y = 0³ - 0² - 0 + 12 = 12
- Для x = 2, y = 2³ - 2² - 2 + 12 = 10
Таким образом, нам нужно сравнить четыре значения: y(x₁), y(x₂), y(0) и y(2), чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции.
Вычислим эти значения:
- y(x₁) ≈ 1.53³ - 1.53² - 1.53 + 12 ≈ 10.46
- y(x₂) ≈ -0.20³ - (-0.20)² - (-0.20) + 12 ≈ 11.96
- y(0) = 12
- y(2) = 10
Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [0;2] равно 10, а наибольшее значение равно 12.