Задача 75681 ...
Условие
Решение
y1 = 6 - горизонтальная прямая
y2 = x^2 + 2 - параболу
Решение:
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, находится как разность двух интегралов.
В нашем случае, фигура ограничена сверху прямой y = 6 и снизу параболой y = x^2 + 2.
Чтобы выразить значение x через y для нашего уравнения параболы, мы вычитаем 2 из обеих сторон уравнения и берем корень из обеих сторон, получив x = sqrt(y - 2).
Теперь, чтобы найти точки пересечения этих двух кривых, мы устанавливаем y значения равными друг другу и решаем уравнение: 6 = x^2 + 2. Это дает нам корни x = ± sqrt(6 - 2), который равен ±2.
Область ограничения по x тогда будет лежать между -2 и 2.
Находим площадь, используя формулу для площади между двуми кривыми:
A = | ∫ (y1 - y2) dx |, где пределы интегрирования от -2 до 2.
При подстановке уравнений и эквивалентного выражения для х получаем:
A = | ∫ ((6 - (x^2 + 2)) dx | от -2 до 2
Решив этот интеграл, получаем:
A = | [6x - (x^3/3 + 2x)] | от -2 до 2
= | [(6*2 - (2^3/3 + 2*2)) - (6*-2 - ((-2)^3/3 + 2*-2)) |
= | [12 - (8/3 + 4) - (-12 - (8/3 - 4)) |
= | [8 - 8/3] * 2 |
= | 16 * 2/3 | = 32/3
Ответ:
Площадь фигуры, ограниченной прямой y = 6 и графиком функции y = x^2 + 2, равна 32/3.
Все решения
